文档介绍：§ 2-2微分和导数的几何解释和物理解释
-4,因为比值Ay/Ax是弦24的斜率，当Ax -> 0时, 点A沿曲线能够应用于几何学的基础.
微积分中有许多结论，-5,曲线y = y{x)在 最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于0).这就是下面的重要结论(以后 会多次用到它).
定理2-1设函数/(%)在含点X。的某区间(a,/(X)在点X。取到最大值 或最小值，即
f(x0) > f(x) (a < X < b)或 f(x0) V f(x) (a<x<b),
而且有导数f'g ,则= 0.
证 不妨认为函数f(x)在点气e (a,幻取到最大值
(a<x<b)
根据函数在点x()的可微性，贝U有(注意Ax = x-x0)
0 2 /(x0+Ax)-/(x0) = zV = f，(x0)Ar + o(Ax) = [f\x0) + o(l)] Ax
(反证法)假若广(易)。0,则当|从|足够小时，[/'3。)+。⑴]与/'(易)， 当广0。)与k同符号时，/(xo+Ax)-/(xo)<O矛盾.
当一个质点沿直线以常速v匀速运动时，它在时间间隔△，内经 过的路程为△$ = "&,△$/△，= □,所以
d V Ac
—= lim —= v 或 ds = v& (见—v 图 2-6)
dt 40 Z
假若质点沿直线的运动不是匀速的，为了更精确地研究质点的运动，就要引入质点在时刻f的“瞬 时速度”"2中的速度V就是瞬时速度.
设想质点从时刻t到时刻t + \t这段时间Z内经过的路程为,而把平均速度的极限
. ds
hm——=v(t)=——
&项 Az dt
| & |很小时，微分ds = v(r)Az (看作有限早)就是质
点在时间间隔△，内实际经过路程的近似值(—V图2-7).例如，从静止点。自由落下的物体
(图2-8),从中学物理中知道，路程公式为
1 ，
= (其中g为重力加速度)
图2-8 图2-9
:g(f + ZV)2_：gf2
=lim = gt
所以它在时刻f的瞬时速度为
v(r) = lim — = lim— ———
也项 Ar &T。 At
而在时刻f的微分ds = gtM是物体在时间间隔△，内实际经过路程(图2-9中梯形曲COE的 面积)的近似值(图2-9中矩形ABCE的面积).
根据同样的道理，若质点沿直线运动的速度为v = v(0 ,则它运动的加速度是速度对时间的 变化率，即
,、＜• Av v(r + Ar)-v(0 dv(r).
a(t) = lim ——=lim ———=一—=v Q)
Az 也―。 Ar dt
于是，作用到物体上的力为
f (0 = ma(t) = m击")(牛顿第二定律)
dt
因此，物理学中说，作用到物体上的力是物体产