文档介绍：高中向量知识点总结向量知识点归纳与常见题型总结向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳 1 .与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量, 数量是只有大小的量( 称标量), 而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小. 记号“a>b”错了,而|a| > |b| 才有意义. ⑵有些向量与起点有关, 有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性( 大小和方向), 故我们只研究与起点无关的向量( 既自由向量) . 当遇到与起点有关向量时,可平移向量. ⑶平行向量(既共线向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量 2⑷单位向量是模为 1 的向量,其坐标表示为( ,), 其中 x、y满足 x?y = 12 (可用( cos?,sin? )(0≤?≤2π)表示) . 特别: AB ?? 表示与 AB 同向的单位向量。? |AB|?????????)(??0) 所在直线过?ABC 是?BAC 的角平分线所在例如:向量?(|AB||AC| 直线); ????????????????ABAC?)???[0,??). 例1、O 是平面上一个定点, A、B、C 不共线, P 满足 OP?OA??(|AB||AC 则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。→→→→ 1ABACABAC →→→( 变式) 已知非零向量 AB 与 AC 满足(+) · BC=0 且=,则△ ABC 为()2 →→→→|AB||AC||AB||AC| A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形(06 陕西)⑸的长度为 0 ,是有方向的,并且方向是任意的,实数 0 仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段. (7) 相反向量( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是- a。)2 .与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加, 其和仍是一个向量.( 三角形法则和平行四边形法则) ①当两个向量和不共线时, ? 的方向与、都不相同, 且|?| < ||+ ||;②当两个向量 a和b 共线且同向时, a?b 、a、b 的方向都相同,且|?|?|a|?|b| ;③当向量 a和b 反向时,若|a| > |b| , a?b 与a 方向相同,且|a?b|=|a|-|b| ; 若||< ||时,?与方向相同,且|+ |=||-||. ⑵向量与向量相减, 其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和;平行四边形法则适用于共起点的向量求和。??;?? 例2:P 是三角形 ABC 内任一点,若 CB??PA?PB,??R ,则P 一定在( ) ??? A、?ABC 内部 B、 AC 边所在的直线上 C、 AB 边上 D、 BC 边上例3 、若· ??0 ,则△ ABC 是: △ B. 锐角△ C. 钝角△ D. 等腰 Rt△例4、已知向量 a?(cos?,sin?),b?(3,?1) ,求|2a?b| 的最大值。分析:通过向量的坐标运算,转化为函数(这里是三角)的最值问题,是通法。解:原式=|(2cos??3,2sin??1)|? =8?8sin(??2(2cos??)2?(2sin??1)2 5?(k?Z) 时, |2?| 有最大值 4. 6?3) 。当且仅当??2k?? 评析: 其实此类问题运用一个重要的向量不等式“|||?|||?|?|?||?|| ”就显得简洁明快。原式?|2|?||=2||?||?2?1?2?4 ,但要注意等号成立的条件(向量同向)。⑶围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示), ???, (在△ ABC 中) ????.( □ ABCD 中)⑷判定两向量共线的注意事项:共线向量定理对空间任意两个向量 a、 b(b ≠ 0),a∥ b? 存在实数λ使 a=λb. 如果两个非零向量,,使=λb(λ∈R) ,那么∥; 反之,如∥,且≠0 ,那么=λ. 这里在“反之”中,没有指出是非零向量,其原因为=0时,与λ的方向规定为平行.⑸数量积的 8 个重要性质①两向量的夹角为 0≤? ≤π. 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值,其射影值可正、可负、可以为零,故向量的数量积是一个实数.②设、都是非零向量,是单位向量, ? 是与的夹角,则????|a|cos?.(?|e|?1) ③ a?b?a?b?0 (∵?=90 °, cos??0) ④在实数运算中 ab=0?a=0 或 b=0. 而在向量运算中?=?= 或= 是错误的,故?或?是?=0 的充分而不必要条件. ⑤当与同向时?=||?||(?=0,cos?=1); 当与反向时, ?=-||?||(?= π,cos?