文档介绍：第4章 频域分析
前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍 信号分析的方法。
信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述， 也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析O)dQ
—g 2 兀 —g
=—Jg |X(j°)|2dQ
2兀 —g
=丄鬥 X (jQ)|2 dQ
兀0
上述关系式表明了信号x(t)的功率与其频谱之间的关系，我们通常将称为帕塞瓦定理。
2. 说明
()式中的实函数IX(jQ)l2离散时，称为功率谱(或能量谱)；若为连续时，则 称为功率谱密度(或能量谱密度)；
()式中含有幅度谱绝对值的平方X(jQ)l2，但未给出其相位信息，这表明：0 若仅给定信号的功率，则无法恢复信号； 2对于幅度谱相同，相位谱不同的信号而言，其功 率谱相同；
由 FT 的时移定理和尺度变换定理，我们不难导出信号的时移和时域展缩对其功率 谱的影响：Q当信号发生时移时，即t-t土t0,则功率谱不变；Q当信号作时域展缩时，即 t-kt,则功率谱将降低为原来的1/k倍。
注意：上述讨论中假定:信号x©的总能量和平均功率都是有限的。.这是( ) 式所示的帕塞瓦定理成立的前提。
若信号x(t)的总能量无限，但其平均功率有限(如海浪波动)时，则我们只考虑其在T 内的有限部分，于是我们可用下式来代替()式所示的帕塞瓦定理，即
Jg |x(t)|2dt = lim丄JT/2 |X(jQ)|2dQ
—g TT8 2兀 T —T/2
式中，IX(jQ)l2/T称为功率谱密度。
四、 功率谱的计算
1. 相关估计法
所谓相关估计法，就是利用DFT的快速算法来计算信号的相关函数，进而求得随机序
列的功率谱估计值的方法。
因此，要用相关估计法来求解功率谱，我们应首先弄清两个问题：
01 相关函数与功率谱之间有何关系？
0如何利用DFT的快速算法来计算信号的相关函数？
( 1 ) 维纳 -欣钦定理
维纳-欣钦定理:实平稳随机序列的功率谱密度与序列的自相关函数尸血)是一对
xx
傅里叶变换，即它们满足序列的傅里叶变换公式
)
P(e j®) = DTFT[r (m)] = £ r (m)e-j»m
xx xx
m=—g
由此可见，维纳-欣钦定理就是我们要找的解决问题。的理论依据。这样，利用该定理, 我们就能由信号的自相关函数来求得其功率谱密度。
注意：上述定理要求序列的长度为无限长，但在实际中只能通过计算有限长序列谱"来 作为无限长序列谱的估计值。
(2) 相关的概念
所谓相．关．(．又．称．互．相．关．)．是指两个确定信号或两个随机信号之间的关系。
对于随机信号来说，信号一般是不确定的，但是通过对其规律进行统计，其相关函数 往往是确定的，因而在随机信号的数字处理中，我们可以用相关函数来描述一个平稳随机信 号的统计特性。
在讨论有限长序列的离散傅里叶变换时，与卷积(包括线性卷积和循环卷积)运算相 似，相关运算同样存在线性相关和循环相关两种类型。
I. 线性相关
定义
设两个长度分别为N、M的有限长实序列x(n)和y(n)，其线性相关就定义为
r (m)二艺 x(n)y(n - m) ()
xy
n=—g
式中，rxy(m)又称为互相关函数。
说明
Q线性相关与线性卷积的比较
设两个长度分别为N、M的有限长序列x(n)和y(n)
比较
线性卷积
线性相关
定义式
x(n) * y (n)二 艺 x(m) y(n - m)
r (m)二 无 x(n) y(n - m) xy
m=-g
n=-g
(变量为m)
(变量为n)
运算结果
N+M-1
N+M-1
实现
翻褶、平移、相乘、相加
平移、相乘、相加
交换律
满足(原因参见式［a］)
不满足(原因参见式［b］)
式［a］：
x(n) * y(n)二 x(m) y (n - m)二艺 y (k)x(n - k)二艺 y (m)x(n - m)二 y (n) * x(n)
m=—g k =—g m=—g
式［b］：
r (m)二
yx
艺 y (n) x( n - m)=
艺 x(k) y (k + m)=
n=—g
k =—8
艺 x(n) y(n + m)二 r (—m)
xy
n=—8
一般，由于x(n)和y(n+m)的相似程度与x(n)和y(n-m)的相似程度是不同的，则r (-m)Mr (m), xyxy 故 ryx(m)Hrxy(肋。
Q自相关函数
当信号x(n)与其自身相关时，即令()式中