平面几何中线段相等的证明几种方法.doc

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平面几何中线段连结BG。
∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD
∴△ADC≌△GDB
∴AC=GB，∠FAE=∠BGE
∵BE=AC
∴BE=BG，∠BGE=∠BEG
∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF
∴AE=EF
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
证明：∵DF⊥BC
∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴∠D=∠CEF
∵∠CEF=∠AED
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∴∠D=∠AED
∴AD=AE
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。
［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，
求证：EF=FD。
证明：过D作DO⊥AC交AB于点O
∵OD垂直平分AC，∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB
∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°
∴AD⊥AB，AE⊥AC
∴OE//AD，AE//OD
∴四边形ODAE为平行四边形
∴EF=FD
［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。
求证：HG=BE。
证明：延长AD到A'，使DA'=AD
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又∵BD=CD
∴四边形BACA'是平行四边形
∴BA=A'C
由题设可知HFGA也是平行四边形
∴HF=AG
∵HF//AC，∴
又∵，HF=AG，BA=A'C
∴BH=EG
∴四边形BEGH是平行四边形
∴HG=BE
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。
［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。
证明：DM=EM。
证明：延长BD至F，使DF=BD。
延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BG
∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△AFD
∴∠BAD=∠FAD
同理可得：∠CAE=∠GAE