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一、图形的变换
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
轴对称:假如一个图形沿着一条直线对折后两部分完整重合,这样的图形叫做轴对称图
形,这条直线叫做对称轴。
(1)学过的轴对称平面图形:长(正)方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等腰三角形有1条对称轴,等边三角形有3条对称轴,长方形有2条对称轴,正方形有4条对称轴,等腰梯形有1条对称轴,圆有无数条对称轴。
随意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
(2)轴对称图形的特色和性质:
①沿对称轴对折,对应点到对称轴的距离相等;②对应点的连线与对称轴垂直;
③对称轴两边的图形大小、形状完整相同。
轴对称图形的画法:
①找重点点②在对称轴的另一侧找出重点点的对应点③连结对应点
旋转:在平面内,物体绕着某一点或轴运动,这类运动现象称为旋转。
旋转的性质
(1)图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的地点挪动;
(2)此中对应点到旋转中心的距离相等;
(3)旋转前后图形的大小和形状没有改变;
(4)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转角;
(5)旋转中心是独一不动的点。
旋转的画法:旋转要明确旋转中心、角度和方向。二、因数和倍数
整除:被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数。
因数、倍数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍数,小数是大数的因数。例:12是6的倍数,6是12的因数。
(1)数a能被b整除,那么a就是b的倍数,b就是a的因数。因数和倍数是互相依存的,不可以独自存在。
(2)一个数的因数的个数是有限的,此中最小的因数是1,最大的因数是它自己。
一个数的因数的求法:成对地按次序找。
(3)一个数的倍数的个数是无穷的,最小的倍数是它自己。
一个数的倍数的求法:挨次乘以自然数。
(4)2、3、5的倍数特色
1)个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
2)一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
..
3)个位上是0或5的数,是5的倍数。
4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两位数是90,最小的三位
数是120。
同时知足2、3、5的倍数,实质是求2×3×5=30的倍数。
5)假如一个数同时是2和5的倍数,那它的个位上的数字必定是0。
自然数按能不可以被2整除来分:奇数、偶数。
奇数:不可以被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数:能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0.
关系:奇数+、-偶数=奇数奇数+、-奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数
:质数、合数、1、0四类。
质数(或素数):只有1和它自己两个因数。
合数:除了1和它自己还有其余因数(起码有三个因数:1、它自己、其余因数)。
1:只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。
0:
最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2和3。每个合数都能够由几个质数相乘获得,质数相乘必定得合数。20之内的质数:有8个(2、3、5、7、11、13、17、19)
100之内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
之内找质数、合数的技巧:
看是不是2、3、5、7、11、13的倍数,是的就是合数,不是的就是质数。
关系:奇数×奇数=奇数质数×质数=合数
最大、最小
A的最小因数是:
1;
最小的奇数是:
1;
A的最大因数是:
A;
最小的偶数是:
0;
A的最小倍数是:
A;
最小的质数是:
2;
最小的自然数是:
0;
最小的合数是:
4;
分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数(一个合数写成几个质数相乘的形式)。
...
比方:30分解质因数是:(30=2×3×5)
互质数:公因数只有1的两个数,叫做互质数。
两个质数的互质数:5和7;两个合数的互质数:8和9;一质一合的互质数:7和8两数互质的特别状况:
⑴1和任何自然数互质;⑵相邻两个自然数互质;⑶两个质数必定互质;
⑷2和全部奇数互质;⑸质数与比它小的合数互质;
公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。此中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数(除到互质为止,把全部的除数连乘起来)几个数的公因数只有1,就说这几个数互质。
假如两数是倍数关系时,那么较小的数就是它们的最大公因数。假如两数互质时,那么1就是它们的最大公因数。
公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。此中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数(除到互质为止,把全部的除数和商连乘起来)
用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止,把全部的除数和商连乘起来)
假如两数是倍数关系时,那么较大的数就是它们的最小公倍数。
假如两数互质时,那么它们的积就是它们的最小公倍数。
(用12和16来举例)
求法一:(列举法)
最大公因数的求法:
12的因数有:1,12,2,6,3,4
16的因数有:1,16,2,8,4
最小公倍数的求法:
12的倍数有:12,24,36,48,
16的倍数有:16,32,48,
最大公因数是
4
最小公倍数是
48
求法二:(分解质因数法)
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是:
2×2=4
(相同乘)
最小公倍数是:
2×2
×3×2×2=48
(相同乘×不一样乘)
三长方体和正方体
(特别状况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。
两个面订交的边叫做棱。三条棱订交的点叫做极点。订交于一个极点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特色:
(1)有6个面,8个极点,12条棱,相对的面的面积相等,相对的棱的长度相等。
(2)一个长方体最多有6个面是长方形,最罕有4个面是长方形,最多有2个面是正方形。
由6个完整相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立方体)。正方体特色:
(1)正方体有12条棱,它们的长度都相等。
(2)正方体有6个面,每个面都是正方形,每个面的面积都相等。
(3)正方体能够说是长、宽、高都相等的长方体,它是一种特别的长方体。
不一样点
相同点
面
棱
长方体
都有
6个面,
6个面都是长方形。
相对的棱的长度都相等
12条棱,(有可能有两个相对的面是正方形)
。
正方体
8个极点。
6个面都是正方形。
12条棱长度都相等
长方体、正方体相关棱长计算公式:
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4=长×4+宽×4+高×4
长=棱长总和÷4-宽-高宽=棱长总和÷4-长-高高=棱长总和÷4-长-宽正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)
无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2
无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2(比方贴墙纸)
2
生活实质:
油箱、罐头盒等都是6个面,游泳池、鱼缸等都只有5个面,水管、烟囱等都只有
注意1:用刀分开物体时,每分一次增添两个面。(表面积相应增添)
注意2:长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到本来的4倍)。
4个面。
物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长×宽×高V=abh
长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a=a
3读作“a的立方”表示
3个a相乘,(即
a·a·a)
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体(或正方体)的体积=底面积×高用字母表示:V=Sh(横截面积相当于底面积,长相当于高)。
注意:一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不必定相等。
箱子、油桶、库房等所能容纳物体的体积,往常叫做他们的容积。
固体一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用的容积单位有升和毫升也能够写成L和ml。
1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升
(1L=1dm31ml=1cm3)
长方体或正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同。
但要冷静器里面量长、宽、高。(因此,关于同一个物体,体积大于容积。)注意:长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,体积就会扩大到本来的8倍)。
形状不规则的物体能够用排水法求体积,形状规则的物体能够用公式直接求体积。排水法的公式:V物体=V此刻-V本来
也能够
V
物体=S×(h此刻-h本来)
V
物体=S×h高升
×进率
8、【体积单位换算】
大单位
小单位
小单位÷进率
大单位
进率:
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
(立方相邻单位进率
1000)
立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
立方厘米=1毫升
注意:长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后,表面积增添了,体积不变。
×进率
【单位换算】大单位小单位
小单位÷进率大单位
长度单位:1千米=1000米1分米=10厘米1厘米=10毫米1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米(相邻单位进率10)
面积单位:1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方千米=100公顷=1000000平方米
(平方相邻单位进率100)
质量单位:1吨=1000千克1千克=1000克
四分数的意义和性质
分数的意义:一个物体、一些物体等都能够看作一个整体,把这个整体均匀分红若干份,这样的一份或几份都能够用分数来表示。
单位“1”:一个整体能够用自然数1来表示,往常把它叫做单位“1”。(也就是把什么均匀分,什么就是单位“1”。)
:把单位“1”均匀分红若干份,表示此中一份的数叫做分数单位。如4的分数
5
单位是1。
5
4.
分数与除法
A÷B=A(B≠0,除数不可以为0,分母也不可以够为
0)
比如:4÷5=4
B
5
5.
真分数和假分数、带分数
(1)真分数:分子比分母小的分数叫真分数。真分数
<1。
(2)假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
(3)带分数:带分数由整数和真分数构成的分数。带分数>1.
4、真分数<1≤假分数真分数<1<带分数
假分数与整数、带分数的互化
(1)假分数化为整数或带分数,用分子÷分母,商作为整数,余数作为分子,如:
10=10÷5=2
21=21÷5=41
5
5
5
(2)整数化为假分数,用整数乘以分母得分子如:
(8)
2=2×4=8(8作分子)
4
(3)带分数化为假分数,用整数乘以分母加分子,得数就是假分数的分子,分母不变,如:
5
1
(26)
5×5+1=26
5
=
5
(4)1等于任何分子和分母相同的分数。如:
1=2=3=4=5==100=
2345100
分数的基天性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
:分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数,假如分母中除了2和5之外,不含其余的质因数,就可以化成有限小数。
反之则不可以够。
约分:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。
如:24=4
5
通分:把异分母分数分别化成和本来相等的同分母分数,叫做通分。如:
2和1
能够化成8
和5
5
4
20
20
分数和小数的互化
(1)小数化为分数:数小数位数。一位小数,分母是10;两位小数,分母是100
如:=
3
=
3
=
3
10
100
1000
(2)分数化为小数:
方法一:把分数化为分母是
10、100、1000
如:3=
3=6=
1=25=
10
5
10
4
100
方法二:用分子÷分母
如:3=3÷4=
4
(3)带分数化为小数:
先把整数后的分数化为小数,再加上整数
如:23=2+=
10
比分数的大小:分母相同,分子大,分数就大;分子相同,分母小,分数才大。分数比较大小的一般方法:同分子比较;通分后比较;化成小数比较。
分数化简包含两步:一是约分;二是把假分数化成整数或带分数。
1=
1=
3=
1=
2=
3=
4=
2
4
4
5
5
5
5
1=
3=
5=
7=
1
=
1
=。
8
8
8
8
20
25
两个数互质的特别判断方法:
1和任何大于1的自然数互质。②2和任何奇数都是互质数。③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数,另一个数是质数时(除了合数是质数的倍数状况下),一般状况下这两个数也都是互质数。
求最大公因数的方法:
①倍数关系:最大公因数就是较小数。
②互质关系:最大公因数就是1
③一般关系:从大到小瞧较小数的因数是不是较大数的因数。
五分数的加法和减法
(一)同分母分数加、减法
同分母分数加、减法:分母不变,只把分子相加减。
计算的结果,能约分的要约成最简分数。
(二)异分母分数加、减法
分母不一样,也就是分数单位不一样,不可以直接相加、减。
异分母分数的加减法:
异分母分数相加、减,要先通分,再依据同分母分数加减法的方法进行计算。
(三)带分数加减法
带分数相加减,整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的结果归并起来。
(四)分数加减混淆运算
分数加减混淆运算的运算次序与整数加减混淆运算的次序相同。
在一个算式中,假如有括号,应先算括号里面的,再算括号外面的;假如只含有同一级运算,应从左到右挨次计算。
整数加法的互换律、联合律对分数加法相同合用。
1-1
1
1-1
1
1-1
1
1-1
2
2
6
2
3
12
3
4
20
4
5
六
统计与数学广角
:一组数据中出现次数最多的一个数或几个数,就是这组数据的
众数。
众数能够反应一组数据的集中状况。
在一组数据中,众数可能不只一个,也可能没有众数。
中位数:(1)按大小摆列;
2)假如数据的个数是单数,那么最中间的那个数就是中位数;
(3)假如数据的个数是双数,那么最中间的那两个数的均匀数就是中位数。
均匀数的求法:总数÷总份数=均匀数
一组数据的一般水平:
(1)当一组数据中没有偏大偏小的数,也没有个别数据多次出现,用均匀数表示一般水平。
(2)当一组数据中有偏大或偏小的数时,用中位数来表示一般水平。
(3)当一组数据中有个别数据多次出现,就用众数来表示一般水平。
均匀数、中位数和众数的联系与差别:
①均匀数:
一组数据的总和除以这组数据个数所获得的商叫这组数据的均匀数。
简单受极端数据的影响,表示一组数据的均匀状况。
②中位数:
将一组数据按大小次序摆列,处在最中间地点的一个数叫做这组数据的中位数。
它不受极端数据的影响,表示一组数据的一般状况。
③众数: