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第一部分等差数列
一定义式:
一个数列是等差数列的等价条件:(a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
二通项公式:
三性质结论
,如:3个数a-d,a,a+d;4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
;
在等差数列中,若,则;若,则;
,则;
若等差数列的项数为,则,且,
。设,,则有;
5.,,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大
第二部分等比数列
一定义:成等比数列。
二通项公式:,
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:当且时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三性质结论:
(同号);
,若,则;若,则;
,,,则有
第三部分求递推数列通项公式
类型一:累加法形如a=a+f(n),其中f(n)为关于n的多项式或指数形式(a)或可裂项成差的分式形式.——可移项后叠加相消.
类型二:(n)=(p≠0,m≠0,b–c=km,k∈Z)或=kn(k≠0)或=km(k≠0,0<m且m≠1).
类型三:形如=,(pq≠0).且的数列,——可通过倒数变形为基本数列问题.
当p=-q时,则有:转化为等差数列;
当p≠-q时,则有:.同类型五转化为等比数列.
类型四:特征根法形如a=pa+q,pq≠0,p、q为常数.
当p=1时,为等差数列;
当p≠1时,可在两边同时加上同一个数x,即a+x=pa+q+x
a+x=p(a+),令x=∴x=时,有a+x=p(a+x),从而转化为等比数列{a+}求解.
类型五:形如a=pa+f(n),p≠0且p为常数,f(n)为关于n的函数.
当p=1时,则a=a+f(n)即类型一.
当p≠1时,f(n)为关于n的多项式或指数形式(a)或指数和多项式的混合形式.
⑴若f(n)为关于n的多项式(f(n)=kn+b或kn+bn+c,k、b、c为常数),——可用待定系数法转化为等比数列.
⑵若f(n)为关于n的指数形式(a).
①当p不等于底数a时,可转化为等比数列;
②当p等于底数a时,可转化为等差数列.
第四部分求前n项和
一:公式法求和直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时定要讨论
(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)](4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)n·n!=(n+1)!-n!(6)c/((n+a)(n+b))=(c/(a-b))*(1/(n+a)-1/(n+b))
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意:余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。
:
说明求形如{an·bn}的数列的前n项和,若其中{an}成等差数列,{bn}成等比数列,则可采用推导等比数列求和公式的方法,即错位相减法,此方法体现了化归思想.
四:分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和
五:合并求和:当通项公式中含有(-1)n,求和时可以对n的奇偶进行讨论,然后分情况求和.
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
可以先求出奇数项和偶数项的和,再相减。
但更好的方法是:(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
:如:归纳猜想法,奇偶法等