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一、三角形及其有关概念
1、三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。
2、三角形的表示:
三角形用符号“”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”,读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系:
(1)三角形的两边之和大于第三边。(2)三角形的两边之差小于第三边。
(3)作用:
①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系:
(1)三角形三个内角和等于180°。(2)直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的面积
三角形的面积=×底×高
二、线段垂直平分线,角的平分线,垂线
1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理:
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
三、平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。
4、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补。
四、定义与命题
1、定义:一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
比如说,上一节课,什么叫做三角形,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
三角形ABC记作:△ABC。
2、命题:一般地,判断某一件事情的句子叫做命题。
3、命题的结构:命题一般由条件和结论两部分组成。
每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。
一般地,命题都可以写出“如果+条件,那么+结论”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------,那么-------”的形式,但可以写成这种形式。如:“对顶角相等”,改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”。
五、投影与视图
1、投影
投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。
平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。
中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图
当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。
俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。
左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。
六、全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
3、全等变换
只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
七、尺规作图
尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图:
作一条线段等于已知线段;
作一个角等于已知角;
3、作已知线段的垂直平分线;
4、作已知角的角平分线;
5、过一点作已知直线的垂线;
一、选择题
,点P是△ABC内的一点,若PB=PC,则
∠∠ACB的平分线上
A
D
C
B
E
F
,AD是的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且,连结BF,:①CE=BF;②△ABD和△ACD面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△
,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,且ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,则下列结论中正确的有
A.∠ADE=∠⊥EC
·BC=BE·=AD+BC
()
?,线段最短。
()
()
二、填空题
△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=°.
△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AC于D,垂足为E,若∠A=30°,DE=2,∠DBC的度数为__________,CD的长为__________.
三、解答题
,正三角形ABC的边长为2,D为AC边上的一点,延长AB至点E,使BE=CD,连结DE,交BC于点P。
(1)求证:DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长。
,在△ABC中,∠CAB=90°,F是AC边的中点,FE∥AB交BC于点E,D是BA延长线上一点,且DF=BE.
求证:AD=AB.
3、作一条线段等于已知线段。
已知:如图,线段a.
求作:线段AB,使AB=a.
作法:
作射线AP;
在射线AP上截取AB=a.
则线段AB就是所求作的图形。
4:作已知线段的中点。
已知:如图,线段MN.
求作:点O,使MO=NO(即O是MN的中点).
作法:
(1)分别以M、N为圆心,大于
的相同线段为半径画弧,
两弧相交于P,Q;
(2)连接PQ交MN于O.
则点O就是所求作的MN的中点。
(试问:PQ与MN有何关系?)
5:作已知角的角平分线。
已知:如图,∠AOB,
求作:射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。
作法:
(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA,OB于M,N;
(2)分别以M、N为圆心,大于 的相同线段为半径画弧,两
弧交∠AOB内于P;
作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
6、已知三边作三角形。
已知:如图,线段a,b,c.
求作:△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
作法:
作线段AB=c;
以A为圆心b为半径作弧,
以B为圆心a为半径作弧与
前弧相交于C;
连接AC,BC。
则△ABC就是所求作的三角形。