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知识点1有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多
(相似系数).
知识点2比例线段的相关概念
(1)如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为,那么就说这两条线段的比是,:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段中,如果的比等于的比,那么这四条线段叫做成比例线段,:①比例线段是有顺序的,如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:.②a、d叫比例外项,b、c叫比例内项,a、c叫比例前项,b、d叫比例后项,d叫第四比例项,如果b=c,即那么b叫做a、d的比例中项,此时有。
(3)黄金分割:把线段分成两条线段,且使是的比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,其中≈:
注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形
知识点3比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)
(1)基本性质:
①;②.
注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如,除
了可化为,还可化为,,,,,,.
(2)更比性质(交换比例的内项或外项):
(3)反比性质(把比的前项、后项交换):.
(4)合、分比性质:.
注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间
:等等.
(5)等比性质:如果,那么.
注:
①此性质的证明运用了“设法”(即引入新的参数k)这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,:;其中.
知识点4比例线段的有关定理
:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
由DE∥BC可得:
注:
①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线).
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.
③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注:平行线分线段成比例定理的推论:
平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5相似三角形的概念
对应角相等,对应边成比例的三角形,“∽”表示,读作“相似于”.相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例.
注:
①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④,而相似要求对应边成比例.
知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理
(1)相似三角形的等价关系:
①反身性:对于任一有∽.
②对称性:若∽,则∽.
③传递性:若∽,且∽,则∽
(2)三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
定理的基本图形:
用数学语言表述是:,∴∽.
知识点7三角形相似的判定方法
1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角
形与原三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两
:两角对应相等,两三角形相似.
4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹
角相等,:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这
:三边对应成比例,两三角形相似.
6、判定直角三角形相似的方法:
(1)以上各种判定均适用.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
注:
射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,
则AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=CD·BC。
知识点8相似三角形常见的图形
1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:
如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)
(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。(有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、“蝶型”)
如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)
(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用:
(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC
(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB;
(3)满足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.
(4)当或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.
知识点9:全等与相似的比较:
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)
直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)
相似判定的预备定理
两角对应相等
两边对应成比例,且夹角相等
三边对应成比例
直角三角形中斜边与一直角边对应成比例
知识点10相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.
知识点11相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法
1、证明四条线段成比例的常用方法:
(1)线段成比例的定义
(2)三角形相似的预备定理
(3)利用相似三角形的性质
(4)利用中间比等量代换
(5)利用面积关系
2、证明题常用方法归纳:
(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”
(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不
同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的,
则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这
几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.
即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。
①②
③
(4)添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
,直到被证结论证出为止.
注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。
(5)比例问题:常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。
(6).对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离”出来的办法处理。
知识点12相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比.
(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比.
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.
注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.
知识点13位似图形有关的概念与性质及作法
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.
,这时的相似比又称为位似比.
注:
(1)位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.
(2)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
(3)位似图形的对应边互相平行或共线.
:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
注:位似图形具有相似图形的所有性质.
:
(1)确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)
(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取).
(3)根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.
(4)顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤
注:①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,
或在图形上(图形边上或顶点上)。
②外位似:位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”(即同向位似图形)
③内位似:位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”(即反向位似图形)
(5)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为k(k>0),原图形上点的坐标为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
经典例题透析
类型一、相似三角形的概念
:
(1)两个直角三角形一定相似吗?为什么?
(2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么?
(3)两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么?
(4)两个等边三角形一定相似吗?为什么?
(5)两个全等三角形一定相似吗?为什么?
思路点拨:要说明两个三角形相似,要同时满足对应角相等,,则只要否定其中的一个条件.
解:(1)
直角三角形只确定一个直角,其他的两对角可能相等,.
(2)
等腰三角形中只有两边相等,,两底边的比不一定等于对应腰的比,所以等腰三角形不一定相似.
(3)一定相似.
在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中
设AB=a,A′B′=b,则BC=a,B′C′=b,AC=a,A′C′=b
∴
∴ABC∽A′B′C′
(4)一定相似.
因为等边三角形各边都相等,各角都等于60度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两个等边三角形一定相似.
(5)一定相似.
全等三角形对应角相等,对应边相等,所以对应边比为1,所以全等三角形一定相似,且相似比为1.
举一反三
【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗?
解析:,,所以对应边相等.
因此这两个三角形全等.
总结升华:由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不一定相似.
(1)两个直角三角形,两个等腰三角形不一定相似.
(2)两个等腰直角三角形,两个等边三角形一定相似.
(3)两个全等三角形一定相似,且相似比为1;相似比为1的两个相似三角形全等.
【变式2】下列能够相似的一组三角形为()
解析:根据相似三角形的概念,判定三角形是否相似,一定要满足三个角对应相等,,其他的角是否对应相等不可知;B中什么条件都不满足;D中只有一条对应边的比相等;C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形,.
类型二、相似三角形的判定
,已知中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于F,请找出图中各对相似三角形,并求出相应的相似比.
思路点拨:由可知AB∥CD,AD∥BC,再根据平行线找相似三角形.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED.
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
∴当△BEF∽△CDF时,相似比;当△BEF∽△AED时,相似比;
当△CDF∽△AED时,相似比.
总结升华:本题中△BEF、△CDF、△AED都相似,,还需注意两个三角形的先后次序,若次序颠倒,则相似比成为原来的倒数.
△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?
思路点拨:已知△ABC和△EDF都是直角三角形,且已知两边长,所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE,再看三边是否对应成比例.
解:在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°.
由勾股定理得.
在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°.
由勾股定理,得.
在△ABC和△EDF中,,,,
∴,
∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例,两三角形相似).
总结升华:
(1)本题易错为只看3,6,4,
似,应看三角形的三边是否对应成比例,而不是两边.
(2)本题也可以只求出AC的长,利用两组对应边的比相等,且夹角相等,判定两三角形相似.
,点D在△ABC的边AB上,满足怎样的条件时,△ACD与△ABC相似?试分别加以列举.
思路点拨:此题属于探索问题,由相似三角形的识别方法可知,△ACD与△ABC已有公共角∠A,要使此两个三角形相似,可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.
解:当满足以下三个条件之一时,△ACD∽△ABC.
条件一:∠1=∠B.
条件二:∠2=∠ACB.
条件三:,即.
总结升华:,用分析法,可先假设△ACD∽△ABC,:.不符合条件“最小化”原则,因为条件三能使问题成立,所以出现条件四是错误的.
举一反三
【变式1】已知:如图正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.
求证:△ADQ∽△QCP.
思路点拨:因△ADQ与△QCP是直角三角形,虽有相等的直角,但不知AQ与PQ是否垂直,,Q是CD中点,而BP=3PC,:
证明:在正方形ABCD中,∵Q是CD的中点,∴=2
∵=3,∴=4
又∵BC=2DQ,∴=2
在△ADQ和△QCP中,=,∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP.
【变式2】如图,弦和弦相交于内一点,求证:.
思路点拨:题目中求证的是等积式,我们可以转化为比例式,.
证明:连接,.
在
∴∽
∴.
【变式3】已知:如图,AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点.
求证:△DFE∽△ABC.
思路点拨:EF为△ABC的中位线,EF=BC,又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线,DE=