文档介绍：第一部分椭圆相关知识点讲解
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:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形。
(1)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
(2)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
注意:,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
,都有和;
.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
圆的参数方程:(其中为参数).
方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
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(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内。
椭圆:的简单几何性质
(1)对称性:对于椭圆标准方程:说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,,, 。
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
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(1)相交:直线与椭圆相交;
(2)相切:直线与椭圆相切;
(3)相离:直线与椭圆相离;
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=
注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=
,若分别为A、B的纵坐标,则=。
:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;
第二部分典型例题分析
类型一:求椭圆的方程
1 、已知椭圆的一个焦点为(0,2)求的值.
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由,根据关系可求出的值.
解:,所以,解得.
又,所以,.
2、已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,,运用待定系数法,
求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,代入得,,故椭圆的方程为.
当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,联立解得,,故椭圆的方程为.
3、已知F1、F2为椭圆(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若AF1B的周长为16,椭圆的离心