文档介绍：抽象函数
特殊模型
抽象函数
正比例函数f(x)=kx (k≠0)
f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数 f(x)=xn
f(xy)=f(x)f(y) [或]
指数函数 f(x)=ax (a>0且a≠1)
f(x+y)=f(x)f(y) [
对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y) [
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x+T)=f(x)
正切函数 f(x)=tanx
余切函数 f(x)=cotx
--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
= f(x)的定义域是[-2,2],则函数y = f(x+1)+f(x-1)的定义域为。
解:f(x)的定义域是,意思是凡被f作用的对象都在中。评析:已知f(x)的定义域是A,求的定义域问题,相当于解内函数的不等式问题。
练习:已知函数f(x)的定义域是,求函数的定义域。
例2:已知函数的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域。
评析: 已知函数的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。
练习:定义在上的函数f(x)的值域为,若它的反函数为f-1(x),则y=f-1(2-3x)的定义域为,值域为。
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例3.①对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
解析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手: 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得:f(0)=0,∴f(1)=,
② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数,则f(2009)= .
解析:由于求的是f(2009),可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2,又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.
(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1,所以
g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1,即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),
故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
练习: 1. f(x)的定义域为,对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ,则( )2. 。2000
.( ,原式=16)
3、对任意整数函数满足:,若,则 C
A.-1 C. 19 D. 43
4、函数f(x)为R上的偶函数,对都有成立,若,则=( )(B)
A . 2005 B. 2
5、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x),又Y=f(x)过点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x),则Y=f-1(16)为( )(A)
A) B) C)8 D)16
三、值域问题
(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在,使得,求函数f(x)的值域。
解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,这与存在实数,使得成立矛盾,故 f(0)≠0,必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立,因此, ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.
四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法,
例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2)
例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x,函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。
解:---- (2)
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