文档介绍：2007年台湾数学能力竞赛决赛
1.       试求使为整数的正整数解
2.       为一整系数多项式,a、b为两相异整数,,,…,,,,…,,若、,且,,试证:当时,
3.       锐角,上有一点D,上有一点E,上有一点F,试证:存在唯一一组解,使,,
4.       给定与其外接圆,令P为劣弧上之一点,异于B、C,连交于Q,试求的最小值。()
5.       有一正整数列1,2,3,…,2n-1、2n,现从中挑出n个数,从大到小排列依次为a1,a2,…,an,另n个数从小到大排列依次为b1,b2,…,bn,求之所有可能的值
6.       a、b、c为正实数,试证明:
参考答案:
1.       引理:,只要不为有理数即可
设为一有理数,但皆不为有理数。
因
则唯一有理数,矛盾。
故,令,,
为正整数,则或2或3
故共有8组解
 
2.       设,亦为整系数多项式
     
   故或…(1)
    又   
    故或…(2)
   欲使(1)(2)同时成立,唯有,故
3.       作三高之垂足,显然成立。
设三垂足分别为D 0,E 0,F 0,若有一D异于D 0合条件,欲使,则,于是,同理
于是,若D在D 0左侧,则E,F也在左侧
与相交,故不平行
,不符合要求。
若在右侧亦然,故D 0,E 0,F 0为唯一。
4.       设,A、B、P、C四点共圆
由正弦定理,,
5.       令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数,1、2、3、…、n为小数。
设中必也有n-k个小数,则中必有n-k个大数,k个小数,
其中
令a1,a2,…,ak,bk+1,b k+2,…,bn为大数,
  b1,b2,…,bk,ak+1,a k+2,…,an为小数。
6.       令
       
    
   当  时,不等式恒成立,
故,
   同理 ,
   则