文档介绍：电厂中学周翔
互为反函数的函数图象之间的关系
及应用
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复习
反函数的定义是什么?
一般地,函数 y=f(x) (x ∈ A) ,y的关系,用y把x表示出,得到 x= φ(y). 如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y) ,x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=φ(y) 就表示以y为自变量的函数.
这样的函数 x=φ(y) 叫做函数 y=f(x) (x ∈ A) 的反函数,记作 x=f-1(y).
我们常常把x,y对调一下,把它改成 y= f-1(x).
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求函数反函数的步骤:
1求原函数的值域
2反解
3 x与y互换
4写出反函数及它的定义域
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例2 求函数y=3x-2(x∈R)反函数,并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。
解:由y=3x-2(x∈R )得
所以y=2x-1(x∈R)的反函数是
(x∈R )
y=3x-2 经过两点(0,-2), (2/3,0)
经过两点(-2,0), (0 ,2/3 )
做一做
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0
x
y
y=3x-2
y=x
想一想:函数y=3x-2的图象和它的反函数
的图象之间有什么关系?
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定理:函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f -1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
注:1)这个结论是由特殊到一般归纳出来的。
2)这个结论是在同一坐标系下,且横轴(x轴)与纵轴(y轴)长度单位一致的情况下得出的。
函数 y = f ( x ) 与函数 x = f -1 ( y ) 为
3)函数 y = f ( x ) 与函数 y = f -1 ( x ) 互为反函数;
同一函数;
4)如果两个函数的图象关于y = x 对称,那么
这两个函数互为反函数;
5)如果一个函数的图象关于y = x 对称,那么
这个函数的反函数就是它本身。
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1、已知函数 f ( x ) = 的图象过点( 1 , 2 ) ,
它的反函数图象也过此点,求函数 f ( x ) 的解析式。
解:由题 2 =
由 y =
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2、已知函数 f ( x ) = ,
1)求 f ( x ) 的反函数;
2)若这个函数图象关于 y = x 对称,求 a 的值。
≠ 3
2)由题函数图象关于 y = x 对称
即函数图象本身关于 y = x 对称
也就是函数与反函数的解析式相同
∴ a = -3
解:
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课堂小结
1 定理:函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f -1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
2 互为反函数的函数图象关系定理是由特殊到一般归纳出来的,要注意发现数学规律。
3 充分利用互为反函数的函数图象关系,数形结合解决数学问题。
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多谢指教
课件制作:周翔
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