文档介绍：2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
二次函数
◆知识讲解
①一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.
②当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
③二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的三种表达形式分别为:一般式:y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为(-,).对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点.
④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-,最值为,(k>0时为最小值,k<0时为最大值).由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上,且y轴为对称轴即x=0.
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将y=ax2沿着y轴(上“+”,下“-”)平移k(k>0)个单位得到函数y=ax2±k,将y=ax2沿着x轴(右“-”,左“+”)平移h(h>0)个单位得到y=a(x±h)2.在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减(右减左加).
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a,b,c的作用:a的正负决定了开口方向,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴x=-的右侧,y随x的增大而增大,此时y有最小值为y=,顶点(-,
)为最低点;当a<0时,开口向下,在对称轴x=-的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴x=-的右侧,y随x的增大而增大,此时y有最大值为y=,顶点(-,)为最高点.│a│的大小决定了开口的宽窄,│a│越大,开口越小,图像两边越靠近y轴,│a│越小,开口越大,图像两边越靠近x轴;a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y轴,当a,b同号时,对称轴x=-<0,即对称轴在y轴左侧,垂直于x轴负半轴,当a,b异号时,对称轴x=->0,即对称轴在y轴右侧,垂直于x轴正半轴;c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y轴交于正半轴;c<0时,与y轴交于负半轴,以上a,b,c的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.
◆例题解析
例1 已知:二次函数为y=x2-x+m,(1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;(2)m为何值时,顶点在x轴上方,(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.
【分析】(1)用配方法可以达到目的;(2)顶点在x轴的上方,即顶点的纵坐标为正;(3)AB∥x轴,A,B两点的纵坐标是相等的,从而可求出m的值.
【解答】(1)∵由已知y=x2-x+m中,二次项系数a=1>0,∴开口向上,
又∵y=x2-x+m=[x2-x+()2]- +m=(x-)2+
∴对称轴是直线x=,顶点坐标为(,).
(2)∵顶点在x轴上方,
∴顶点的纵坐标大于0,即>0
∴m>
∴m>时,顶点在x轴上方.
(3)令x=0,则y=m.
即抛物线y=x2-x+m与y轴交点的坐标是A(0,m).
∵AB∥x轴
∴B点的纵坐标为m.
当x2-x+m=m时,解得x1=0,x2=1.
∴A(0,m),B(1,m)
在Rt△BAO中,AB=1,OA=│m│.
∵S△AOB =OA·AB=4.
∴│m│·1=4,∴m=±8
故所求二次函数的解析式为y=x2-x+8或y=x2-x-8.
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a,b,c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.
例2 (2006,重庆市)已知:m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点