文档介绍：2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数
一、指数与对数运算:
(一)知识归纳:
:
①定义:若一个数的次方等于,,若
,则称的次方根,
1)当为奇数时,次方根记作;
2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作
.
②性质:1); 2)当为奇数时,;
3)当为偶数时,
:
①规定:1)N*, 2),
n个
3)Q,4)、N* 且
②性质:1)、Q),
2)、 Q),
3) Q)
(注)上述性质对r、R均适用.
:
①定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N
的对数,记作其中称对数的底,N称真数.
1)以10为底的对数称常用对数,记作,
2)以无理数为底的对数称自然对数,记作
②基本性质:
1)真数N为正数(负数和零无对数), 2),
3), 4)对数恒等式:
③运算性质:如果则
1);
2);
3)R).
④换底公式:
1), 2)
(二)学习要点:
1.(其中)是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底.
;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.
【例1】解答下述问题:
(1)计算:
[解析]原式=
(2)计算.
[解析]分子=;
分母=;
原式=.
(3)化简:
[解析]原式=
.
(4)已知:值.
[解析]
.
[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧.
【例2】解答下述问题:
(1)已知,
求证:
[解析],
=
(2)若,求的值.
[解析]去分母得
,
、是二次方程的两实根,且,解
得,
[评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题,这种问题更接近考试题的形式,应多从这种练习中积累经验.
二、指数函数与对数函数
(一)学习要点:
:
①定义:函数称指数函数,
1)函数的定义域为R, 2)函数的值域为,
3)当时函数为减函数,当时函数为增函数.
②函数图像:
1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限,
2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴),
3)对于相同的,函数的图象关于轴对称.
①,
②,
③
①,
②,
③,
③函数值的变化特征:
:
①定义:函数称对数函数,
1)函数的定义域为, 2)函数的值域为R,
3)当时函数为减函数,当时函数为增函数,
4)对数函数与指数函数互为反函数.
②
1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限,
2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴).
①,
②,
③.
①,
②,
③.
4)对于相同的,函数的图象关于轴对称.
③函数值的变化特征:
(二)学习要点:
,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识.
、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.
、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力.
【例1】已知是奇函数(其中,
(1)求的值;
(2)讨论的单调性;
(3)求的反函数;
(4)当定义域区间为时,的值域为,求的值.
[解析](1)
对定义域内的任意恒成立,
,
当不是奇函数,,
(2)定义域为,
求导得,
①当时,在上都是减函数;
②当时,上都是增函数;
(另解)设,任取,
,
,结论同上;
(3),
(4)上为减函数,
命题等价于,即,
解得.
[评析]例1的各个