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文档介绍：§5 矩阵的秩
这是有关矩阵的更深刻的理论。本节内容较为抽象,是全书的难点所在,也是考研的重点之一。
一、矩阵的秩的定义
定义1(k 阶子式)
在矩阵Am×n 中,任取 k 行与 k 列(k≤m,k≤n),
位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在
A 中的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵A的
k 阶子式。
为了给出矩阵的秩的定义,先介绍矩阵子式的概念。
例1 三阶方阵A有个1阶子式,有个2 阶子式,
有个3 阶子式。
9
9
1
注 1. 矩阵Am×n 共有个 k 阶子式。
2. 矩阵的子式是行列式,而非矩阵。
例2 计算矩阵 A
的各阶子式
解 1 阶子式有(共6个):
2 阶子式有(共3个):
设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式D,
且所有 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于零,
那么D称为矩阵A 的最高阶非零子式,数 r 称为
矩阵A的秩,记为 R(A)。
规定:零矩阵的秩等于零。
问:若矩阵的所有r+1阶子式全为零,r+2阶子式的值如何?
定义2(矩阵的秩)
⑴ R(A)=r中非零子式的最高阶数;
注由定义立即可得:
⑵ A=0
⑶ R(A)=R(A/ ) ;R(kA) =R(A),k为非零数。
⑷设A为m×n 矩阵,则R(A)≤m,R(A)≤n。
问下列矩阵的秩是多少?
定理1:若A是n阶方阵,则的充要条件是A为满秩矩阵.
例4
解
计算A的3阶子式,
内容回顾
初等变换及其应用:
初等矩阵及其应用:
矩阵的秩的定义
。
定理 2 定理 3
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