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北京市中考数学一模分类汇编——圆
（一）与圆有关的填空选择题
圆锥侧面睁开
1.（通州）已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，则圆锥侧面睁开图的
（燕山）已知圆锥的底面直径是4cm，侧面上的母线长为3cm，则它的侧
面积为________cm2．6π
3.（密云）已知：圆锥母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于D
A．11
B．10
C．9
D．8
4.（石景山）用半径为
10cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥（接缝处
忽视不计），则这个圆锥的高为
__________cm．20
2
3
圆周角定理与垂径定理，切线性质
5.（石景山）如图，弦AB和CD订交于点P，B30，APC80，
则BAD的度数为B
A．20°B．50°C．70°D．110°
C
C
O
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14
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A
P
B
D
AB
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14
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6.（海淀）如图,
点A、B、C在⊙O上,若
C=40,则
A．20
B．40
C．80
D．100
7.（丰台）如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，
AB=8，OD=3，则⊙O的半径等于B
10
A
．4
B
5
C
．
8
D
．
．
AOB的度数为C
OC⊥AB于点D，若
A
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OC
D
B
8.（房山）如图，在⊙O中,半径OC⊥弦AB于点D,AB=43,AO=4,则∠O=_____．60°
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9．（旭日）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B＝20°，
则∠ADC的度数为
．70°
A
C
O
D
B
10.（东城）如图，若
AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，
则∠C等于D
°
°°
°
11.（门头沟）如图，半径为
10的⊙O中，弦AB的长为16，
则这条弦的弦心距为
.6
O
A
B
12．（平谷）如图，
AB是⊙O的直径，弦
DC与AB订交于点
E，若
ACD
50°，则
DAB=_____________．40°
13.（通州）如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形△ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，此中BC=12，OA=8，则BD
的长为（A）
D
A．20
B．19
C
O
C．18
D．16
A
B
14.（西城）如图，过
⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的
∠D=40°，则∠A的度数为B
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
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15．（石景山）如，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P
以每秒一个位的速度沿着
B—C—A运，⊙P始与AB相切，点P
运的
t，⊙P的面y，y与t之的函数
B
关系像大体是
B
y
y
．
y
y
P
A
C
第15题图
O
°
tO
°tO°°t
O°
t
°°
A
B
C
D
16．（2012年西城）如，平面直角坐系
xOy中，M点的坐
（3，0）⊙M的半径2，M点的直与⊙M的交点
分A，B，△AOB的面的最大
6
，
此A，B两点所在直与x的角等于
90
°．
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（二）与圆有关的计算问题
圆+垂径定理+解直角三角形
1.（西城区）如，AC⊙O的直径，AC=4，B、D分在AC两的上，∠BAD=60°，BD与AC的交点E．
求点O到BD的距离及∠OBD的度数；
(2)若DE=2BE，求cosOED的和CD的．
解：（1）作OF
BD于点F，OD．（如4）
∵∠BAD=60°，∴∠BOD=2∠BAD=120°．⋯⋯⋯⋯⋯1分
又∵OB=OD，∴
OBD30．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
分
∵AC⊙O的直径，AC=4，∴OB=OD=
2．
A
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，
OBF30
，
第3共14
D
F
ECB
4
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∴OFOBsinOBF2sin301，
即点O到BD的距离等于1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
（2）∵OB=OD，OFBD于点F，∴BF=DF．
由DE=2BE，BE=2x，DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF
OBcos30
3，∴
x
3
，EF=
3．
在Rt△OEF中，
OFE
90
，
3
3
∵tanOED
OF
3
，∴
OED
60
，cos
OED
1．⋯⋯4分
EF
2
∴
BOE
OED
OBD
30
．∴
DOC
DOB
BOE
90．
∴
C
45．∴CD
2OC
2
2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
圆+切线性质+相似、解直角三角形
2．（石景山）如，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，点A作
⊙
的切与
的延交于点
，假如
3
O
CD
F
DE
CE，
85
，
4
AC
C
DEF的中点．
（1）求：
AFC
ACF；
A
EO
B
（2）求AB的．
D
解：(1)BC
F
∵AF⊙O的切
第2题图
∴AF⊥AB即
DAF
DAB=90
C
∵DEF的中点，
∴DF
DE
AD
∴
DAF
AFC
⋯⋯⋯⋯⋯..1分
A
EOG
B
∵AB⊙O的直径，∴
ECB
FCA
90
∵
DAB=
ECB∴
DAF
FCA⋯⋯..2分
D
∴
FCA
AFC
F
(2)
过C作CG
AB于G
AF⊥AB，∴AF∥CG
∵DE3CE,DFDE，∴CE:FE2:3
4
可得CG:AF2:3⋯⋯⋯⋯⋯..3分
∵FCAAFC∴AFAC85
Rt△ACG中，CG:AC2:3
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第4共14
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∴cosCAB=5：3⋯⋯⋯⋯⋯..4分
在Rt△ACB中，AC85
∴AB24⋯⋯⋯⋯⋯..5分
3.（城）如，△ABC中，以BC直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切，AE均分∠BAC交BC于点E，
交CD于点F．
1）求：CE=CF；
2）若sinB=3，求DF∶CF的．
5
解：（1）明：∵BC是直径，
∴∠ADC=90°.
∴∠1+∠3=90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵CA是的切，∴
∠ACB=90°.
∴∠2+∠4=90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
AE均分∠BAC，∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.∵∠3=∠5，
∴∠4=∠5.∴CE=CF.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
（2）点E作EG⊥AB于点G.⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
EG=EC，CD∥EG.∴EG=CF.
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∴DFADEGAG∴DFADFCAC
.又易AG=AC.
.又可∠ACD=∠B.
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∴DF∶CF的3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
5
圆+切线判断+相似、解直角三角形
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第5共14
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4．（海淀）如，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径,E是CB延上一点,
且BAE=C.（1）求：直AE是⊙O的切；
4
（2）若EB=AB,cosE,AE=24，求EB的及⊙O的半径．
5
A
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（1）明：BD.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°.∴∠1+∠D
O
EBAC
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=90°.
F
1
D
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
O
∴∠D=∠BAE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
E
B
C
∴∠1+∠BAE=90°.
D
即∠DAE=90°.
∵AD是⊙O的直径，
∴直AE是⊙O的切.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
（2）解:点B作BF⊥AE于点F,∠BFE=90.
EB=AB,∴∠E=∠BAE,EF=1AE=1×24=12.
2
2
∵∠BFE=90,cosE
4
,
5
EF
5
=15.⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴EB
12
cosE
4
AB=（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE,
BD
4
分
∴∠D=∠E.∵∠ABD=90,∴cosD
.⋯⋯⋯⋯⋯4
AD
5
BD=4k，AD＝5k.
在Rt△ABD中,由勾股定理得
AB＝AD2
BD2
=3k,
可求得k=5.∴AD25.
∴⊙O的半径25.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
2
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5.（昌平）如，已知直PA交⊙O于⊙O上一点，且AC均分∠PAE，点
1）求：CD是⊙O的切；
2）若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O
A、B两点，AE是⊙OC作CD⊥PA于D．
P
的半径．
D
A
的直径，C
C
O
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第6共14
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BE
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（1）明：OC．
OC=OA，∴∠OAC=∠OCA．
AC均分∠PAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC．
CD⊥PA，∴∠ADC=∠OCD=90°，即CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
2）解：O作OE⊥AB于E．
∴∠OEA=90．°
P
C
O
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23
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∵AB=8，∴AE=4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
在Rt△AEO中，∠AEO=90°，
B
E
∴AO2=42+OE2．
∵∠EDC=∠OEA=∠DCO=90°，∴四形DEOC是矩形，
OC=DE，OE=CD．
∵AD:DC=1:3，∴AD=x，DC=OE=3x，OA=OC=DE=DA+AE=x+4，
222
解得x1=0(不合意，舍去)，x2=1．
OA=5．
∴⊙O的半径是5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
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6.（房山）如，在△ABC中，AB=BC，以AB直径的⊙O与AC交于点D，点D作DF⊥BC于点F，交AB的延于点E．
⑴求：直DE是⊙O的切；
C
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⑵当cosE=4，BF=6，求⊙O的直径．D
5
F
AOBE
⑴明：BD、OD.
∵AB是直径∴∠ADB=90°
AB=BC∴AD=DC
∵AO=OB∴OD∥BC-----------1分
∵DF⊥BC∴DF⊥OD
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又∵点D在⊙O上
∴直DE是⊙O的切.------
--------
2分
⑵解：∵DF⊥BC，cosE=4，BF=6
5
∴可得EF=8，BE=10-------------------------------
3
分
∵OD∥BC
∴△EFB∽△EDO
∴BF
BE
半径x.
6
10
.解得x=15
OD
EO
x
10
x
∴直径30.-------------------------------------------
5
分
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7.（沟）如，在△ABC中，AB=AC，以AB直径的⊙交BC、AC于D、E两点，点D作DF⊥AC，垂足F.
1）求：DF是⊙O的切；
2）若AE=DE，DF=2，求⊙O的半径.
分
C
F
ED
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（1）明：接ODAOB
AB=AC,∴∠C=∠B.
OD=OB,∴∠B=∠1.
∴∠C=∠1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
OD∥AC.∴∠2=∠FDO.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2分
∵DF⊥AC,∴∠2=90°
∴∠FDO=90°∴FD是⊙O的切.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
C
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
F
2
∵AC=AB,∴∠3=∠4.
E
D
∵弧ED=弧DB∴弧AE=弧DE,
1
∴弧DE=弧DB=弧AE.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分
3
∴∠B=2∠4.∴∠B=60°，∴∠C=60°.
4
5
B
A
O
在Rt△CFD中，sinC
DE
,
CD
∴CD
2
=
4
3
.∴DB=
43
,AB=BC=
8
3
sin60
3
3
3
∴OA=4
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
3
8．（密云）已知：如，在△ABC中，∠A＝∠B＝30o，D是AB上一
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点，以AD直径作⊙O恰点C．
1）求：BC所在直是⊙O的切；
2）若AD＝23，求弦AC的．
明（1）：如，接
OC．-------------------------
1
分
OC
OA，
ACO
A30．
在△ABC中，∵∠A＝∠B＝30o，
∴
ACB
180
A
B
120．
OCB
ACB
ACO
120
30
90．
------------------------
2分
∴OC
BC．∴BC是O的切．-----------------------
3
分
解（2）CD．∵AD是⊙O的直径，∴∠
ACD＝90°．----------------
4
分
在Rt△ACD中，∵∠A＝30o，AD＝2
3，
∴AC
ADcosA
23
3
3．----------------------------
5
分
2
即弦AC的3．
9.（平谷）如，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）订交于点
E，
且CE
DE，点B作CD的平行交AD延于点F．
C
（1）求：BF是⊙O的切；
（2）BC，若⊙O的半径
4，sin
BCD
3，
A
E
B
求CD的．
4
O
D
F
（1）明：
AB是⊙O的直径，CE
DE，
AB
CD．⋯⋯⋯
............
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
分
C
AED90°．
∵CD∥BF，ABF
AED90°．
E
BF是⊙O的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
A
B
（2）解：BD．
O
∵AB是⊙O的直径，
ADB90°．.........
⋯⋯⋯3分
D
第9共14
F
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∵sin
3
∠C，
C
，∠A
4
BD
ABsin
A
ABsinC
8
3
6.
4
AD
AB2
BD2
27.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
∵
1
·
1
·
，
·
．
ADBD3
S△ABD
ABDE
2
ADBD
DE
7
2
AB
2
CD
2DE
3
7
．........⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
10.（）如，C是⊙O的直径AB延上一点，点
D在⊙O上，且∠
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1
A=30°，∠BDC=ABD．A
2
1）求：CD是⊙O的切；
2）若OF∥AD分交BD、CD于E、F，BD=2，
求OE及CF的．
（1）明：OD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∵∠A=30°，∴∠ABD=60°．
O
B
E
DFC
分
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∴∠BDC=1
ABD30．
2
A
O
B
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∵OD=OB，∴△ODB是等三角形．E
DF
∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
即OD⊥DC．
CD是⊙O的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
∴DEBEBD1．
C
分
3分
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在Rt△OEB中，OB=2BE=2，OEOB2BE23．⋯⋯⋯⋯4分
OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°，
∴CD
23
，DF
ODtan30
2
3．
3
∴CF
CD
DF2
3
23
4
3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
3
3
11.（通州）如，在△
ABC中，AB=AC，以AB的
C
F
E
第10
共14
D
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GBOA
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