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第 I
卷（选择题 )
一、选择题：本题共
12 小题，每小题
5 分，共 60
分 . 在每小题给出的四个选项中，有一项是
符合要求的 .
1．已知集合 A
x | x2
3x
4 0
， B
x |
2
x 2
，则 A
B 等于（
）
A． x | 1 x 4
B
． x | 2 x 4
C． x | 2 x 1
D
． x | 1 x 2
2．已知复数 z
1
）
，则下列说法正确的是（
3
4i
A．复数 z 的实部为
3
3
4
B．复数 z 的共轭复数为：
i
25
25
C．复数 z 部虚部为：
4
D．复数 z 的模为 5
i
25
3．设 a
， b
， c
log m
m2
(m
1) ，则 a ， b ， c 的大小关系是（
）
A. a b c
B. b a c
C. c b a
D. b c a
8
16
4．记 Sn 为等比数列 { an } 的前 n 项和，若 a2 a3
， a5
，则（
）
9
3
A． an
2n
B． an
3n 1
C． Sn
3n 1
D． Sn
2n
1
3
2
3
5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．
2018 年全年总收入与
2017 年全年总收
入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给
出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）
A．该企业
2018 年设备支出金额是
2017
年设备支出金额的一半
B．该企业
2018 年支付工资金额与
2017
年支付工资金额相等
- 1 -
C．该企业
2018
年用于研发的费用是
2017 年用于研发的费用的五倍
D．该企业
2018
年原材料的费用是
2017 年原材料的费用的两倍
6．函数 f x
ln x2
4 x 4
）
( x
的图象可能是下面的图象（
2) 3
A． B． C． D．
7．执行如图所示程序框图，若输入的
k 4 ，则输出的
s （
）
A． 3
B． 4
C． 5
D
． 6
4
5
6
7
8．已知函数
log3 x, x
0
1 2 f a ，则 a 的值等于（
）
f x
，若 f
x2 , x
0
A． 3或
2
2
D．
2
B． 3
C．
2
2
2
9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为
5 ， 4
， 3
， 1
，只有通过前一
6
5
5
2
关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节
目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）
- 2 -
A． 7
B． 2
C． 12
D． 14
25
5
25
25
10．关于函数 f ( x)
sin x
cos x
有下述三个结论：
2
2
①函数 f ( x) 的图象既不关于原点对称，也不关于
y轴对称；
②函数 f ( x) 的最小正周期为
；
③ x0
R ， f x0
2 1．
其中正确结论的个数为（
）
A． 0
B． 1
C．2
D． 3
11．设椭圆 E ： x2
y2
1( a b
0) 的两焦点分别为
F1 ， F2 ，以 F1 为圆心， F1 F2 为半
a2
b2
径的圆与 E 交于 P ， Q 两点，若
PF1F2 为直角三角形，则
E 的离心率为（
）
A．
5
1
B．21
C．
2
D．
2 1
2
2
x2
4x, x
0
12．已知函数 f
x
x
, x
0
，方程 f
x
ax
0 有 4 个不同的实数根，则
a 的取
e
x
值范围是（
）
A． e2 , 4
B． e ,4
C． e ,
D． e2 ,
4
4
4
4
第 II 卷（非选择题 )
二、填空题 : 本题共
4 小题，每小题
5 分，共 20 分.
13．函数 f ( x)
x
sin x(1
cosx) 的图象在点
π, f (π)
处的切线方程是
_________ ．
14．已知平面向量 a,b 满足 b
a
b
3 ，且
a
1, b
2 ，则 a b
________．
15．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺） ：礼、乐、射、御、书、数．某校国学
社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”
不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有 _________种．
16．已知四面体 ABCD 内接于球 O，且 AB BC 2, AC 2 ，若四面体 ABCD 的体积为
- 3 -
3 ，球心 O恰好在棱 DA上，则球 O的表面积是 _________．
3
三、解答题：共
70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第
17～21 题为必答题，
每个试题考生都必须作答．第
22、23 题为选做题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共
60 分．
17．（ 12 分）在
ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c ，且 2a cosB
2c b ．
（ 1）求
A 的大小；
（ 2）若
ABC 的外接圆的半径为 2 3 ，面积为 3
3 ，求
ABC 的周长．
18．（ 12 分）某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：
2 小时内（含
2 小时）每辆每次
收费 5 元；超过
2 小时不超过
5 小时，每增加一小时收费增加
3 元，不足一小时的按一小时
计费；超过 5 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费
15 元封顶．超过
24 小时，按前述标准重
新计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计
1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天
内在该停车场仅停车一次） ，得到下面的频数分布表：
（小时）
0,2
2,3
3,4
4,5
5,24
T
频数（车次）
600
120
80
100
100
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．
（ 1） X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率分布列及期望 E( X ) ；
（ 2）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用少于 E( X ) 的车辆数，
求 P( ⋯2) 的概率．
19．（ 12 分）如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是边长为
2 的菱形，
ABC
，
60 △PAB
为正三角形，且侧面 PAB
底面 ABCD ， E 为线段
AB 的中点， M 在线段 PD
上．
（ 1）当 M 是线段 PD 的中点时，求证： PB∥ 平面 ACM ；
- 4 -
（ 2）是否存在点 M ，使二面角 M EC D 的大小为 60 ，若存在，求出 PM 的值；若不存
PD
在，请说明理由．
20．（ 12 分）已知点 A 1,
2
y2
x
2
1(a b 0) 上的一点，椭圆
C的离心率
是椭圆 C：
b2
a2
与双曲线 x2
y2
1的离心率互为倒数，斜率为
2 直线 l 交椭圆 C于 B， D两点，且 A、 B、
D三点互不重合．
（ 1）求椭圆 C的方程；
（ 2）若 k 1 , k2 分别为直线 AB， AD的斜率，求证： k1 k2 为定值．
21．（ 12 分）已知函数
2
f x xa 2 x alnx a R ．
（ 1）求函数 y f x 的单调区间；
（ 2）当 a
1 时，证明：对任意的
x
0 ,
f ( x)
ex
x2
x 2 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在
22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分．
22． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程
] （10 分）
以平面直角坐标系的原点
O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点
M 的直角坐
标为 (1,0)
，若直线 l 的极坐标方程为
2
cos(
)
1
0 ，曲线 C 的参数方程是
4
x
4m2
，（ m 为参数）．
y
4m
（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线
C 的普通方程；
（ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求
1
1
．
MA
MB
23． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）
已知 a， b， c R ， a2
b2
c2
1 ．
1）求证： ab bc ac 1；
（ 2）求证： a4
b4
c4
1．
c2
a2
b2
- 5 -
数学（理科）参考答案
一、单选题
1．已知集合 Ax | x2
3x 4
0 ， B
x |
2
x 2 ，则 A
B 等于（
）
A． x | 1
x
4
B． x | 2 x 4
C． x | 2
x
1
D． x | 1 x 2
1．【答案】 D
【解析】 A
x | x2
3x
4 0
x | 1
x
4
，则 A B x |
1 x
2 ．
所以本题答案为
D．
2．已知复数 z
1
，则下列说法正确的是（
）
3
4i
A．复数 z 的实部为 3
C．复数 z 部虚部为：
2．【答案】 B
B
3
4
i
．复数 z 的共轭复数为：
25
25
4
i D．复数 z 的模为 5
25
【解析】 z
1
3
3
4i
4i
3 4i
3
4
i ，则实部为
3
，虚部为 4
，共
3
4i
4i
3
25
25
25
25
25
轭复数为：
3
4
i ，模为
1．选 B．
25
25
5
3．设 a
， b
， c
log m m2
(m
1) ，则 a ， b ， c 的大小关系是（
）
A. a b c
B. b a c
C. c b a
D. b c a
3．【答案】 B
【解析】 B 根据指数函数的单调性可得：
20
21，即 1
a
2 ， 0
1 ，
即
，由于 m >1 ，根据对数函数的单调性可得：
log m
m2
log m m2
2 ，即
c 2 ，所以
，故答案选 B.
4．记 S 为等比数列
{ a }
8
16
的前 n 项和，若 a2 a3
， a5
，则（
）
n
n
3
9
2n
B． an
n 1
C． Sn
3n
1
2n
1
A． an
3
2
D． Sn
3
3
- 6 -
4．【答案】 D
a12q3
8
,
a1
1
, 则
1
n
2n
【解析】设公比为
q，有
9
解得
3
3
(1
2 )
1 ．故选 D．
a1q
4
16
q
2,
Sn
1
2
3
3
,
5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．
2018 年全年总收入与
2017 年全年总收
入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给
出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）
A．该企业 2018
年设备支出金额是
2017
年设备支出金额的一半
B．该企业 2018
年支付工资金额与
2017
年支付工资金额相当
C．该企业
2018
年用于研发的费用是
2017 年用于研发的费用的五倍
D．该企业
2018
年原材料的费用是
2017
年原材料的费用的两倍
5．【答案】 C
【解析】由折线图可知：不妨设
2017 年全年的收入为
t ，则 2018 年全年的收入为
2t ，
对于选项 A，该企业 2018 年设备支出金额为 0．2×2t ＝ 0．4t ，2017 年设备支出金额为 0．4× t
＝ 0． 4t ，故 A 错误，
对于选项 B，该企业 2018 年支付工资金额为 0．2×2t ＝ 0．4t ，2017 年支付工资金额为 0．2×t
＝ 0． 2t ，故 B 错误，
对于选项 C，该企业 2018 年用于研发的费用是 0．25×2t ＝ 0．5t ，2017 年用于研发的费用是
0．1×t ＝ 0． 1t ，故 C正确，
对于选项 D，该企业 2018 年原材料的费用是 0．3×2t ＝ 0．6t ，2017 年原材料的费用是 0．15×t
＝ 0． 15t ，故 D错误，故选： C．
ln x2
4 x 4
）
6．函数 f x
的图象可能是下面的图象（
( x
2) 3
- 7 -
A． B． C． D．
6．【答案】 C
ln
x2
4 x
4
ln x
2
2
x
的图象关于点 (2,0) 对
【解析】因为 f x
x
3
x
3
，所以函数 f
2
2
称，排除 A, B ．当 x 0
时， ln x
2
0,
3
0
，所以 f
x
0，排除 D。选C。
2
x 2
7．执行如图所示程序框图，若输入的
k
4 ，则输出的
s
（
）
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
4
5
6
7
7．【答案】 C
【解析】根据程序框图的循环语句可知
第一次循环， k
4, n
0, s
0
，此时 n ≤ k ， n 1
， s
1
；
1
1
2
1
1
第二次循环， k
4, n
1,s
，此时 n ≤ k ， n
2 ， s
1
+
；
1
2
2
2
3
第三次循环， k
4, n
2, s
1
1
+
1
，此时 n ≤ k ， n
3 ， s
1
+
1
+
1
；
2
2
3
1
2
2
3
3
4
第四次循环， k
4, n
3, s
1
1
+
1
+
1
，此时 n ≤ k ， n
4 ，
2
2
3
3
4
- 8 -
s
1 +
2
1
+
1
4
+
1
；
1
2
3
3
4
5
1
1
1
1
第五次循环， k
4, n
3, s
+
+
+
，此时 n ≤ k ， n
5
，
1
2
3
4
5
2
3
4
s
1+1+1+1+1
；
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
第六次循环， k
4, n
5 ，不满足 n≤ k ，循环停止，
输出 s
1+1+1+1+1
6
1111111111
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
=
C
项．
6
8．已知函数
f
x
log3 x, x
0
，若 f
1
2 f
a
，则 a 的值等于（
）
x2 , x
0
A．
3 或
2
B．
3
C．
2
D．
2
2
2
2
8．【答案】 A
【解析】由题意有
f
1
( 1)2
1
，当 a
0 时，则 2log 3 a
1 ，解得 a
3 ，
当 a
0 时，则 2a
2
1，解得 a
2 ，综上可得 a
3 或 a
2 ，故选 A．
2
2
9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为
5， 4，3，1，只有通过前一
6
5
5
2
关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节
目，则该选手能进入第四关的概率为（
）
A． 7
B． 2
C． 12
D． 14
25
5
25
25
9．【答案】 D
5
4
3
2
【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以
P1
5
5
,
6
5
第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，
所以P1 5
4（1 3)
3 4
．
6
5
5
5
25
所以该选手能进入第四关的概率为
5
4
3
5
4
1
3
3
14
6
5
5
6
5
5
5
25
．故选： D
- 9 -
10．关于函数 f ( x)
sin x
cos x
有下述三个结论：
2
2
①函数 f ( x) 的图象既不关于原点对称，也不关于
y轴对称；
②函数 f ( x) 的最小正周期为
；
③ x0
R ， f x0
2 1 ．
其中正确结论的个数为（
）
A． 0
B． 1
C．2
D． 3
10．【答案】 B
【解析】依题意， f (
x)
sin ( x)
cos (
x)
sin x
cos x
f ( x) ，
2
2
2
2
故函数 （f
x）的图象关于 y 轴对称，故①错误；
因为 f ( x
)
sin
x
2
cos
x
2
cos x
sin x
f ( x)
2
2
2
2
故 x
是函数 （f x）的一个周期，且当
x [0,
) 时
f (x)
sin x
cos x
2 sin
x
4
[1,
2] ，故②正确，③错误．故选
B．
2
2
2
11．设椭圆
E
： x2
y
2
1( a
b
0)
的两焦点分别为 F1 ， F2 ，以 F1 为圆心，
F F
为半
a2
b2
1 2
径的圆与 E 交于 P ， Q 两点，若
PF1F2 为直角三角形，则
E 的离心率