文档介绍：第三章二阶及高阶微分方程
可降阶的高阶方程
线性齐次常系数方程
线性非齐次常系数方程的待定系数法
高阶微分方程的应用
线性微分方程的基本理论
前一章介绍了一些一阶微分方程的解法,
在实际的应用中,还会遇到高阶的微分方程,
在这一章,我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,
即高阶微分方程的求解方法和理论.
可降阶的高阶方程
n阶微分方程的一般形式是:
当
时, 统称为高阶微分方程.
一、可降阶的高阶方程
1、不显含未知函数
的方程
()
不显含未知函数x
或不显含未知函数及其
直到
阶导数的方程是
对上式进行k 次积分,可求出方程()的解.
求解方法:
若能求得其通解为:
令
就可把()化为关于
的
阶方程:
即
()
例求解方程
解
将方程积分三次,
通解:
它是一个一阶方程,通解是:
则方程可化为:
即
解: 令
例、求解方程
积分四次,得原方程的通解为:
例解方程
解
令
代入原方程,
2 、不显含自变量t 的方程
求解方法:
方程的一般形式为:
作为新未知函数,
用
而把
作为
新的自变量,
因为
()
由数学归纳法知,
可用
来表达,将这些表达式代入
()
可得
()
即有新方程:
它比原来的方程降低了一阶.
解
代入原方程
例
可分离变量方程