文档介绍：泰勒公式(提高班)
授课题目:
§
教学目的与要求:
;
.
教学重点与难点:
重点:几个常用函数的泰勒公式
难点:泰勒公式的证明
讲授内容:
对于一些较复杂的函数,为了便于研究,,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算,便能求出它的函数值来,因此我们经常用多项式来近似表达函数。
在微分的应用中已经知道,当很小时,有如下的近似等式:
,.
—次多项式及其一阶导数的值,分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值.
但是这种近似表达式还存在着不足之处:首先是精确度不高,它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,,对于精确度要求较高且需要估计误差的时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.
于是提出如下的问题:设函数在含有的开区间内具有直到()阶导数,试找出一个关于()的次多项式
(1)
来近似表达,要求与之差是比高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式.
,,相等,即满足
,,
,,
按这些等式来确定多项式(1),对(1)式求各阶导数,然后分别代人以上等式,得
,,, ,
即得,,,. (2)
将求得的系数代入(1)式,有
.
下面的定理表明,多项式(2)的确是所要找的次多项式.
定理1 (泰勒(Taylor)中值定理) 如果函数在含有的某个开区间()内具有直到()阶的导数,则当任一,有

, (3)
其中, (4)
这里是与之间的某个值.

(在与之间).
由假设可知,在()内具有直到()阶导数,且

对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理(显然,这两个函数满足柯西中值定理的条件),得
(在与之间),
再对两个函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理,得

(在与之间).
照此方法继续做下去,经过()
(在与之间,因而也在与之间).
注意到(因),则由上式得
(在与之间),
定理证毕.
多项式(2)称为函数按()的幂展开的次近似多项式,公式(3)(4)称为拉格朗日型余项.
当时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:
(在与之间).
因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
出泰勒中值定理可知,以多项式近似表达函数时,,当时,,则有估计式:
(5)
及
由此可见,当时误差是比高阶的无穷小,即
.
这样,我们提出的问题完满地得到解决.
在不需要余项的精确表达式时,阶泰勒公式也可写成
(7)
的表达式(6)称为佩亚诺(Peano)型余项,公式(7)称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.
在泰勒公式(3)中,,如果取,,从而泰勒公式变成较简单的形式,即所谓麦克劳林(Maclauri)公式() (8)