文档介绍：第二讲:线弹性断裂力学·
弹性裂纹尖端场
的特征展开(Williams,1957)
概述
裂纹可分为三种类型:
I型——张开型
II型——剪切型
III型——撕开型(反平面剪切型)
三种裂纹的形式中,I 型裂纹最为常见,在工程设计和分析中最重要。但在数学分析上,III型裂纹比较简单。
反平面应变问题
主要应力分量, ;
位移
III 型反平面剪切问题
复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。
根据复变函数理论,任何解析函数的实部和虚部都满足Laplace方程,它们构成共轭的调和函数。
如果知道一个调和函数,则可以由柯西-黎曼方程求出与之共轭的调和函数。
III型反平面剪切问题
可见Ⅲ型裂纹的线弹性裂纹尖端场具有奇异性,且与因子成正比。
称为Ⅲ型裂纹的应力强度因子,它是由外加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。
III型反平面剪切问题
在有些情况下,有必要考虑应力应变公式中的第二项,此时应力和位移场变为:
线弹性力学的平面问题和反平面剪切问题平面问题的复变函数表示应力组合与位移组合
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
平面问题,应变分量为:
线弹性本构关系为:
平衡方程为:
变形协调方程为:
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
如果应力分量由Airy应力函数表示,即:
以上应力函数自动满足平衡方程。但要同时满足变形协调方程,就必须满足以下双调和方程: