文档介绍：第三篇代数系统
信息科学与工程学院 王新红
代数系统简介
人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程,往往要借助于一些数学工具。这些现象或过程,就是我们的研究对象。描述时,需要建立适当的模型。从物理学角度考虑,就是建立该模型的运动方程(这通常由微分方程表述,反映的是研究对象的运动规律)。从数学角度考虑,需要建立合适的数学描述语言,或适当的数学结构,可以较为准确地描述研究对象。
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代数系统简介
合适的数学结构相当重要。在微积分中,可以用导数描述质点运动的速度,可以用定积分来计算面积、体积等;在代数学中,可以用正整数集合上的加法运算来描述工厂产品的累计数,用集合之间的“交”、“并”运算来描述人和人之间的关系等。
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代数系统简介
我们要研究的是一类特殊的数学结构──由集合上定义若干个运算而组成的系统。称为代数系统。
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代数系统简介
代数系统的一般形式是:(A, f1, f2, …, fn)。其中A是一个非空集合,f1, f2, …, fn是定义在A上的运算(close)。fi可以是一元运算(unitary operation)、二元运算(binary operation)、三元运算等,即n-元运算(n-nary operation)。
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代数系统简介
我们将要讨论的数学结构包括:群(group,涉及到对称性,symmetry)、环(ring)和域(field)、格(lattice,涉及到布尔代数,Boolean algebra)。
实际上,我们已学过一些代数结构,如:<N, +>, <R, {-, +, –, }>等。N: set of natural number, R: set of real number, -: negation.
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代数系统
代数系统的运算(运算表)和性质
代数系统之间的关系:同态和同构
典型的代数系统:
广群,半群,含幺半群(独异点),群,
环与域
布尔代数
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框架
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引言
代数系统----由集合上定义若干运算而组成的系统:
{原子命题}+5个联结词
{二元关系}+关系的并、交、补、差+关系复合、关系的逆、关系的闭包
代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统
这些代数系统中的运算又具有某些性质,从而确定了这些代数系统的数学结构。
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第五章代数结构
代数系统的引入
运算及其性质
具有一个二元运算的代数系统
半群
群
同态与同构---两个同型代数系统之间的联系
具有两个二元运算的代数系统
环
域
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