文档介绍：第5章计算机辅助几何设计
自由曲线
自由曲面
CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面,常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中,存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面,这类曲线曲面称为自由曲线(Free Form Curves)和自由曲面(Free Form Surfaces),这是计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。
计算机如何描述曲面,曲线几何信息,如何生成,如何控制,如何处理?
自由曲线
曲线曲面描述的基本原理
Hermite曲线
Bezier曲线
B样条曲线
非均匀有理B样条(NURBS)曲线
曲线曲面描述的基本原理
自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成,自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此,曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。
1. 几何设计的基本概念
在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点:
(1) 特征点(控制顶点):用来确定曲线曲面的形状位置,但曲线或曲面不一定经过该点。
(2) 型值点:用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。
(3) 插值点:为了提高曲线曲面的精度,在型值点之间插入的一系列点
在曲线曲面设计中,通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状,并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值,逼近或拟合。
(1)插值:给定一组精确的数值点,要求构造一个函数,使之严格地依次通过全部型值点,且满足光顺的要求。
(2) 拟合:对于一组有误差的数据点,构造一个函数,使之在整体上接近全部数据点而不必通过全部数据点,使所构造的函数与数据点误差在某种意义上最小。
(3)逼近:对于一组给定的控制顶点,要求构造一个函数,使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。
(4)光滑(smooth):从数学意义上讲,光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。
(5)光顺(fair):至今仍是一个模糊的概念,尚无统一的标准。一方面有主观的因素,另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。(二阶连续导数)
P0
p1
pn
弧长
T=dP/ds=limΔP/Δs (Δs->0)
(ds)2=(dx)2+(dy)2+(dz)2
引入参数t,上式可改写为:
考虑到矢量的模非负,所以:
故弧长s是t的单调增函数,其反函数t(s)存在,且一一对应,得
P(t)=P(t(s))=P(s)
    于是:
即T是单位切矢量。
也就是说,以弧长为参数时,曲线的切矢量为单位矢量,记为T(s)。
从弧长的定义可见,它既与参数t的选取无关,也与坐标系无关,从而以弧长为参数来表示曲线易于讨论曲线本身固有的性质。