文档介绍：微积分学的创始人:
德国数学家 Leibniz
微分学
导数
描述函数变化快慢
微分
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具
(从微观上研究函数)
第二章导数与微分
导数思想最早由法国数学家 Fermat 在研究极值问题中提出.
英国数学家 Newton
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家, 物理学家, 天文
学家和自然科学家.
他在数学上的卓越
贡献是创立了微积分.
1665年他提出正
流数(微分) 术,
次年又提出反流数(积分)术,
并于1671
年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).
他
还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.
莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家.
他和牛顿同为
微积分的创始人,
他在《学艺》杂志
上发表的几篇有关微积分学的论文中,
有的早于牛顿,
所用微积分符号也远远优于牛顿.
他还设计了作乘法的计算机,
系统地阐述二进制计
数法,
并把它与中国的八卦联系起来.
第一节导数的概念
一、引例
二、导数的定义
三、由定义求导数
四、导数的几何意义
五、函数的可导性与连续性的关系
六、小结
一、引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设描述质点运动位置的函数为
则到的平均速度为
而在时刻的瞬时速度为
自由落体运动
2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当时)
割线 M N 的斜率
切线 MT 的斜率
0
x
两个问题的共性
瞬时速度
切线斜率
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限
类似问题还有
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
二、导数的定义
定义1 设函数
在点
存在,
并称此极限为
记作:
即
则称函数
若
的某邻域内有定义,
在点
处可导,
在点
的导数.
运动质点的位置函数
在时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
说明在经济学中,
边际成本率,
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
若上述极限不存在,
在点不可导.
若
也称
在
若函数在开区间 I 内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作
注意
就说函数
就称函数在 I 内可导.
的导数为无穷大.