文档介绍：§ 描述流体运动的两种方法—拉格朗日方法和欧拉方法
如何把每个流体质点的运动规律描述清楚?无数个质点!宏观现象又不强调每个质
点的仔细情况。
好比一个人和一群人的运动。
一、拉格朗日 Lagrange 方法
着眼于流体中的每个质点的空间位置随时间的变化
设 t = t0 时,某流体质点初始位置为(a, b, c)
~r = ~r(a, b, c, t), xi = xi(a, b, c, t)
a, b, c 称为拉格朗日变数,且与时间 t 无关,代表各质点的“编号”,通常将流体质点在
初始时刻 t = t0 所在位置的空间坐标设定为质点的“编号”,因而又称(a, b, c)为拉格朗日
坐标。
“编号”(a, b, c) 常取初始时刻质点的空间位置。
相对于设定的空间坐标系,某一流体质点的坐标位置对时间的导数
∂~r
质点速度: V~ = ,分量式?
∂t
∂V~ ∂2~r
质点加速度: ~a = =
∂t ∂t2
在直角坐标系中,速度、加速度=?
流体质点具有的物理属性: f(a, b, c, t)
二、欧拉 Euler 方法
关注在某一时刻流经每一空间点~r = (x, y, z) 的流体质点的运动状态,着眼于空间固
定点上流体运动随时间的变化。
研究流体的宏观物理量的空间分布随时间的变化。
速度场: V~ = V~ (~r, t)
设时刻 t 位于空间点M(x, y, z)的流体质点,经过极短时间δt 运动到另一空间点N(x +
δx, y + δy, z + δz)
1
dV~ ∂V~
加速度场:~a = 可否写成~a =
dt ∂t
V~ (~r + δ~r, t + δt) − V~ (~r, t)
= lim
δt→0 Ã δt ! Ã !
1 ∂V~ ∂V~ ∂V~ ∂V~ 1 ∂V~
= lim δt + δx + δy + δz = lim δt + δ~r · ∇V~
δt→0 δt ∂t ∂x ∂y ∂z δt→0 δt ∂t
∂V~
= + (V~ · ∇)V~ 能写出曲线坐标系的表达式?
∂t
随体导数= 局部导数+ 位变导数
同理可推知,任何流体物理量 f = f(~r, t) = f(x, y, z, t)(包括矢量)的随体导数
df f(~r + δ~r, t + δt) − f(~r, t)
= lim
dt δt→0 δt
∂f
= + (V~ · ∇)f
∂t
d ∂
= + V~ · ∇
dt ∂t
曲线坐标系下随体导数算子的表达式为
d ∂ V ∂ V ∂ V ∂
= + 1 + 2 + 3
dt ∂t H1 ∂x1 H2 ∂x2 H3 ∂x3
三、不可压流体的数学表示
据定义,流体质点的密度在运动过程中不变的流体称作不可压缩流体,即密度的随
体导数为零
dρ
不可压流体: = 0
dt
对于均质流体:∇ρ= 0
dρ∂ρ
= + (V~ · ∇)ρ= 0
均质不可压流体: dt ∂t 常数
∂ρ⇒ρ=
= 0
∂t
四、两种描述之间的转换