文档介绍：数学建模
第五讲
非线性规划
§ 引言
如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题。
与线性规划一样,非线性规划也是运筹学的一个重要分支,于 20 世纪 50 年代开始逐步形成,到20 世纪 70 年代开始处于兴旺发展时期。随着计算机技术的日益发展,很多领域越来越重视这门学科,应用非线性规划方法进行设计、管理等,非线性规划理论自身也得到了进一步的发展。
与线性规划问题不同,非线性规划问题可以有约束条件,也可以没有约束条件。
但无论如何,非线性规划总可以用如下的一般形式来描述:
min f(X)
. gi(X)  0,i = 1, …, m ()
hj(X) = 0,j = 1, …, l
其中 X = (x1, x2, …, xn)TRn,f,g,h 是定义在 Rn 上的实值函数。
如果采用向量表示法,则线性规划的一般形式可以写成:
min f(X)
. g(X)  0
h(X) = 0
其中:g(X) = (g1(X), …, gm(X))T
h(X) = (h1(X), …, hl(X))T
至于求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式。
§ 引例
引例项目投资问题。有一投资者有资金 5000 美元和两个可能的投资项目,令 xj(j = 1, 2)表示他分配到投资项目 j 的资金(以千美元为单位)。从历史资料分析,投资项目 1 和 2 分别有预计的年收益 20% 和 16%,同时与项目 1 和 2 有关的总的风险损失由总收益的方差来衡量,由式 2x12 + x22 + (x1+x2)2 给出,即风险损失随着总投资和单项投资的增加而增加。投资者希望使期望的收益为最大,同时使风险损失为最小,应怎样进行投资?
建立模型:
max Z = 20x1 + 16x2 [2x12 + x22 + (x1 + x2)2]
. x1 + x2  5
x1, x2  0
其中非负常数反映风险损失和收益之间的权衡。①当= 0 时,他将资金全部投到最大期望收益的项目,属冒险型;②当时,期望回收的目标收益可以忽略不计,他主要考虑使风险损失为最小。
引例生产计划问题。Carron(卡隆)化学公司年轻工程师 R 和 D 合成了一种轰动一时的新肥料,只用两种可互相替换的基本原料来制造。公司想利用这个机会生产尽可能多的这种新肥料,公司目前有资金 40000 美元,可购买单价分别为 8000 美元和 5000 美元的原料。当用数量为 x1 和 x2 两种原料合成时,肥料的数量 Q 由下式给出:
Q = 4x1 + 2x2  
试确定购买原料的计划。
建立模型:
max Q = 4x1 + 2x2  
. 8x1 + 5x2  40
x1, x2  0
引例供应与选址问题。某公司有 6 个建筑工地要开工,每个工地的位置(用平面坐标系 a,b 表示,距离单位:千米)及水泥日用量 d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于 A(5, 1),B(2, 7),日储量各有 20 吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。
1
2
3
4
5
6
a

3

b

5

d
3
5
4
7
6
11