文档介绍：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用
摘要:在高等数学的学****中,行列式无疑是一个重点和难点,它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式,用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。
关键字: 行列式;Vandermonde行列式;Vandermonde
目录
第一章引言………………………………………………1
预备知识……………………………………………2
定义………………………………………………2
行列式的性质……………………………………2
行列式计算中的几种基本方法……………………3
三角形法……………………………………………3
加边法或升级法……………………………………4
递推法或数学归纳法………………………………5
第三章行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6
Vandermonde行列式的证法………………………6
Vandermonde行列式的性质………………………7
推广的性质定理:行列式………………………7
一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9
Vandermonde行列式的偏导数……………………9
Vandermonde行列式的翻转与变形………………11
Vandermonde行列式的应用………………………12
第四章小结…………………………………………………17
第五章参考文献……………………………………………18
第六章谢辞………………………………………………19
引言
在中学数学和解析几何里,我们学****过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中,经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组,并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题,经过一代代数学家的不懈努力,终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展,法国数学家范德蒙(A-,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善,如柯西、詹姆士·西尔维斯特(,1814-1894)、雅可比(,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中。
本文通过在行列式基本性质了解的基础上,进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。
2 预备知识
为了深入学****Vandermonde行列式的性质及其应用,我们有必要回顾一下行列式的相关知识。
定义1
行列式是由个元素(数)(=1,2,…,)排成行列并写成
(1)
的形式,它表示所有符合以下条件的项的代数和:
①每项是个元素的乘积,这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的,可记为,式中是1,2,…,的一个排列。
②每项应带正号或负号,以1,2,…,的顺序为标准来比较排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序,即2在1之前,3在1之前,所以应带正号;而中(213)的逆序为1,因为这时只有2在1之前,所以应带负号。
行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 交换行列式的两行(列),行列式改变符号。
性质3 如果一个行列式有两行(列)完全相同,那么这个行列式等于0。
性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。
性质5 一个行列式中一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。
性质6 如果一个行列式中有一行(列)的元素全部是0,那么这个行列式等于0。
性质7 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例,那么这个行列式等于0。
性质8 设行列式的第行元素都可以表示成
,
那么等