文档介绍：根轨迹分析法
华南理工大学
自动化科学与工程学院
制作:罗家祥审校:胥布工
根轨迹分析法
1 引言
2 根轨迹的基本概念
3 绘制根轨迹的一般方法
4 根轨迹法的扩展应用
5 开环零、极点对系统根轨迹的影响
6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹
7 小结
1 引言
根轨迹方程
绘制(10个规则)
根轨迹扩展应用
根轨迹
开环零、极点对根轨迹的影响分析
改变开环零极点,提高系统稳态或动态性能
知识体系
1 引言
系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能是密切相关的。闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的根是否位于复平面的左半平面内,而闭环控制系统的动态性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。
对于高阶系统,为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性,1948年伊万斯()创立了一种通过改变系统的一个参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法,并给出了绘制系统特征根变化轨迹的方法,简称为根轨迹法。
根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法,具有直观和简便的优点,并且是一种通用方法,可以绘制任意线性多项式关于任何参数的根轨迹,这样不需要用解析法求特征方程的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能的影响。
2 根轨迹的基本概念
根轨迹图
根轨迹的研究是在一个复平面(简称s平面)上展开的,这时的复平面就叫根平面。当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时,系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为根轨迹。根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。
根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响,因此,从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放大系数K成正比的一个参数Kg,一般称为根轨迹增益。
2 根轨迹的基本概念
例5-1
2 根轨迹的基本概念
Kg>0,系统闭环特征根始终在根平面的左半部,系统总是稳定的。
0<Kg<4,两个互不相等的负实数,系统阶跃响应为单调上升的非周期过程。
Kg=4,两个相等的负实数,系统阶跃响应为单调上升的非周期过程。
Kg>4,两个共轭复根,系统的阶跃响应变为衰减振荡过程,Kg越大,振荡越剧烈。
Kg的取值不同,系统特征根在s平面的分布不同,系统具有不同的动态特性。
2 根轨迹的基本概念
根轨迹方程
1、幅值条件
2 根轨迹的基本概念
2、相角条件
规定相角以逆时针方向为正,顺时针方向为负。
2 根轨迹的基本概念
注意事项:
幅值条件仅是相轨迹应满足的必要条件,因为幅值还取决于Kg的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件,而s平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。
相角条件是相轨迹应满足的充要条件,因为相角大小与Kg的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件,而s平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。
由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析,因此s平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。
通常,直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹很复杂,可以尝试先画出近似的根轨迹曲线,进行初步分析后,再细化和修正用计算机求解或者绘制出精确的根轨迹。