文档介绍：材料力学第 6 章弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题
§6-2 挠曲线的微分方程
§6-3 用积分法求弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-5 简单超静定梁
§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
材料力学§6-1 工程中的弯曲变形问题
在工程实践中,对某些受弯构件,除要求具有足够的强度
外,还要求变形不能过大,即要求构件有足够的刚度,以
保证结构或机器正常工作。
材料力学
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大,就会影响零件的加工
精度,甚至会出现废品。
材料力学
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难,出现
爬坡现象。
材料力学
另外一些情况下,要求构件具有较大的弹性变形,以满足
特定的工作需要。例如,车辆上的叠板弹簧,要求有足够
大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P P
2 2
P
材料力学§6-2 挠曲线的微分方程
一、度量梁变形的两个基本位移量
y
θ F :横截面形心沿垂直
C x 于轴线方向的线位移。用
y y 表示。向上为正,反之
θ为负。
C1
:横截面绕其中性轴转动的角度。用θ表示。横截
面从变形前转动到变形后,逆时针为正,反之为负。
二、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠
曲线。其方程为: y = y(x)
dy 小变形
三、转角与挠曲线的关系: tgθθ=⇒= y′
dx
材料力学
四、挠曲线的近似微分方程
1 M
推导弯曲正应力时,得到: =
ρ EI z ρ
忽略剪力对变形的影响
1 M (x)
=
ρ(x) EI z
由数学知识可知: 略去高阶小量,得
1 y′′ 1
= ± = ± y′′
ρ[1+ (y′)2 ]3 ρ
M (x)
所以± y′′=
EI z
材料力学
y M>0 y
M<0
′′
yx()> 0 yx′′()< 0
x x
由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲线的二
阶导数符号一致,所以挠曲线的近似微分方程为:
M (x)
y′′=
EI z
使用条件:小变形、线弹性、平面弯曲
材料力学§6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为:
M (x)
y′′=
EI
积分一次得转角方程为:
M ( x )
θ= y ′= dx + C
∫ EI
再积分一次得挠度方程为:
⎛ M (x) ⎞
y = ⎜ dx ⎟dx + C x + D
∫∫⎝ EI ⎠
材料力学
积分常数由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件光滑连续条件
A
~ A A A A
~
~
A ~
~
y = 0 y = Δ yAL = yAR yAL = yAR
yA = 0 A A
弹簧变形
θ A = 0 Δ- θ AL = θ AR