文档介绍：米尔尼方法与辛普森方法
考虑与()不同的另一个的显式公式
其中为待定常数,可根据使公式的阶尽可
能高这一条件来确定其数值.
由()可知,再令得
到
1
解此方程组得
于是得到四步显式公式
()
称为米尔尼(Milne)方法.
由于,故方法为4阶,其局部截断误差为
()
2
米尔尼方法也可以通过方程()两端积分
得到.
若将方程()从到积分,可得
右端积分通过辛普森求积公式就有
()
称为辛普森方法. 它是隐式二步四阶方法,其局部截断误
差为
()
3
汉明方法
辛普森公式是二步方法中阶数最高的,但它的稳定性
较差,为了改善稳定性,考察另一类三步法公式
其中系数及为常数.
如果希望导出的公式是四阶的,则系数中至少有一个
自由参数.
若取,则可得到辛普森公式.
若取,仍利用泰勒展开,由(),令
则可得到
4
解此方程组得
于是有
()
5
称为汉明(Hamming)方法.
由于,故方法是四阶的,且局部截断
误差为
()
6
预测-校正方法
对于隐式的线性多步法,计算时要进行迭代,计算量
较大.
为了避免进行迭代,通常采用显式公式给出的
一个初始近似,记为,称为预测(predictor),接着计算
的值(evaluation),再用隐式公式计算,称为校正
(corrector).
在()中用欧拉法做预测,再用梯形法校正,得
到改进欧拉法,它就是一个二阶预测-校正方法.
一般情况下,预测公式与校正公式都取同阶的显式方
法与隐式方法相匹配.
例如用四阶的阿当姆斯显式方法做预测,再用四阶阿
当姆斯隐式公式做校正,得到以下格式:
7
预测P:
求值E:
校正C:
求值E:
此公式称为阿当姆斯四阶预测-校正格式(PECE).
依据四阶阿当姆斯公式的截断误差,对于PECE的预
测步P有
对校正步C有
8
两式相减得
于是有下列事后误差估计
容易看出
9
()
比更好.
但在的表达式中是未知的,因此计算时用
上一步代替,从而构造一种修正预测-校正格式(PMECME ):
P:
M:
E:
10