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文档介绍：走下神坛的
抽象代数
李尚志
北京航空航天大学
抽象代数课程教什么?考什么?
微积分,线性代数有计算,抽象代数没有?
既然叫抽象, 就是没有例子?
有证明。太难,课时不够, 删去!
还剩什么?死记硬背!
九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔
小学程度就可以背诵和考试!
谁是山寨版?
2018/1/4
抽象代数一定要从公理开始?
公理是什么? 许多不同东西的共同点.
公理化方法: 描述性(非构造性)定义
样板: 几何(欧几里德) -- 代数(抽象代数)
群,环,域的公理内容:
1. 对加、减、乘、除的封闭性
2. 解释什么是加、减、乘、除
加法:向量空间前4条公理= 交换群的运算
乘法:结合律(群的公理)
对加法的分配律(环的公理)
教学法:
通过有招学无招无招胜有招:
案例公理案例
2018/1/4
案例1. 三阶幻方以一变多
旋转轴对称

共有多少个?
×4=8
正方形的对称群
2018/1/4
正多边形与正多面体
正三角形的对称群
三角形数谜一变多
2×3=6
S3
正方体的旋转群
3×8个顶点=24
4×6个面=24
2018/1/4
公理化: 群,子群,陪集分解
以正方体旋转群G为例.
G按6个面1,…,6分组, 第 i 组 Gi ={g|g1=i}
g,a在同一组 g1=a1 a-1g1=1
a-1g∈ G1g∈aG1. Gi= aG1.
由a 可逆得: h1≠h 2  ah1≠ah2
|Gi |=|G1|, i=1,…,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|.
推广: G 对除法封闭总可计算a-1g
“同组”等价性=G1含1, 对求逆,乘法封闭
群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.
2018/1/4
案例2. 复数的几何与矩阵模型
i2 = -1 : 左转两番朝后方
平面向量v(-1)v,后转(180o)
记viv为左转(90o).则i2 = -1.
域同构: 复数平面线性变换矩阵
i左转变换i 
a+bi a1+bi 
2018/1/4
案例3. 平面旋转群 R
旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv)
(cosa +isina)n = cosna +isinna
(棣美弗公式)
f: RR, a  eia = cosa +isina
f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态)
Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构)
2018/1/4
案例4. 单位根群
单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根.
f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n
1,w,w2,…,wn-1 ,
w = cos(2p/n) +isin(2p/n)
n阶循环群〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1}
f:Z〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r)
Ker f = nZ
Zn=Z/nZ ≌〈 w 〉
2018/1/4
案例5. xn -1 的因式分解
复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1)
有理数范围: 以x15 -1为例
1,w,w2,…,w14在乘法群中的阶d|15
同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x)
F1(x)=x-1.
F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1.
F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1
F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x))
分圆多项式 Fd(x)
2018/1/4