文档介绍：数列求和方法总结
、等比数列求和问题总结
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例1 已知,求的前n项和.
解:由
由等比数列求和公式得: = ==1-
=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:由等差数列求和公式得,
∴===
∴当,即n=8时,.
2. “整体值”的运用
例3. 是等差数列,前10项的和为100,前100项的和为10,求前110项的和.
解析:运用等差数列的性质:
若,则.
∵,
∴.
因此,.
点评:在运用公式求和时,已知可以求,但往往在不易求得这些值时,利用“整体值”求和十分有效,这种“整体值”的运用在后面的等比数列求和时也常用.
在等差数列中,若,则,特别地,.
例4. 在等差数列中,共有项,,求n.
解法一:由性质得,.
解法二:因为,又,.
点评:等差数列奇数项和与偶数项和的性质中,中间项对推导和记忆性质十分重要.
应用知识点:(1)项数为偶数的等差数列中,与为中间两项,,,.
(2)项数为的等差数列中,为中间项,,.
例5 是等差数列,前10项的和为100,前100项的和为10,求前110项的和.
解析:是等差数列,易知也成等差数列,这个数列的首项.
又因为,求得这个数列的公差.
所以,
所以,即.
点评:恰当地使用等差数列的性质往往事半功倍,、例3介绍的两种方法,还可以运用方程的思想,列出方程组,进而求解,同学们不妨一试.
应用知识点:若为等差数列,则也是等差数列.
例6 已知两个等差数列,的前项和分别为,,且,求的值.
解:.
点评:从到的过渡,联想等差中项是关键.
应用知识点:若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
例7 在等差数列中,(1)若,前项和为,且,求当取何值时,最大,并求出此最大值;(2)若,,该数列前多少项的和最小?
解:(1),∴.
∴或最大,.
(2),,,.
∵,.∴等差数列为递增数列,由条件,不可能有,故,.
∴数列的前11项和最小.
点评:应用等差数列的性质,从通项来分析项的符号,是解决等差数列和的最值问题的简便方法,这比用前项和公式分析快捷.
应用知识点:在等差数列中,(1)若,数列为递减数列,必存在m,使,最大,又若,这时同时最大;若,,数列为递增数列,必存在,使,,最小,又若,这时同时最小.
(2)从前项和公式上分析,若为正整数,则为最大值,若是正分数,取离最近的整数,则最大.
7. 求数列的前项和
例8. 已知数列的前项和,求数列的前项和.
解:,当时,,当时,也适合上式,
∴时,,令,则,
∴时,;当时,.
(1)当时,;
(2)当时,
.
故
点评:对于带绝对值号的数列求和问题,应先弄清取什么值时,或,,也是一个等差数列.
应用知识点:在等差数列中,若,则从某项起,,故数列
的前项和;
当,类似有
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1等比数列求和公式有两个,但这两个公式是各管一块,互不牵扯,所以在等比数列求和中就