文档介绍：该【2024年高数(二)试题与解答 】是由【sunny】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2024年高数(二)试题与解答 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。2024年高数〔二〕试题与解答填空题此题共6小题,每题4分,总分值24分.〔1〕假设时,与是等价无穷小,那么a=-4.〔2〕设函数y=f(x)由方程所确定,那么曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.〔3〕的麦克劳林公式中项的系数是.〔4〕设曲线的极坐标方程为,那么该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.〔5〕设为3维列向量,,那么=3.〔6〕设三阶方阵A,B满足,其中E为三阶单位矩阵,假设,、选择题此题共6小题,每题4分,总分值24分.〔1〕设均为非负数列,且,,,那么必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[D]〔2〕设,那么极限等于(A).(B).(C).(D).[B]〔3〕是微分方程的解,那么的表达式为〔A〕(B)(C)(D)[A]〔4〕设函数f(x)在内连续,其导函数的图形如以下列图,那么f(x).(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx〔5〕设,,那么(A)(B)(C)(D)[B]〔6〕设向量组I:可由向量组II:线性表示,那么(A)当时,向量组II必线性相关.(B)当时,向量组II必线性相关.(C)当时,向量组I必线性相关.(D)当时,向量组I必线性相关.[D]三、此题总分值10分设函数问a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时,x=0是f(x)的可去间断点?【答案】===令,有,=-1时,,即f(x)在x==-2时,,因而x=0是f(x)、此题总分值9分设函数y=y(x)由参数方程所确定,求【答案】由,,得所以==当x=9时,由及t>1得t=2,故五、此题总分值9分计算不定积分【答案】设,那么==又==,故因此==六、此题总分值12分设函数y=y(x)在内具有二阶导数,且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.【答案】(1)由反函数的求导公式知,于是有==.代入原微分方程得(*)(2)方程(*)所对应的齐次方程的通解为设方程(*)的特解为,代入方程(*),求得,故,从而的通解是由,、此题总分值12分讨论曲线与的交点个数.【答案】设,y那么有4-k不难看出,x=,,即单调减少;当x>1时,,即单调增加,<4,即4-k>0时,无实根,即两条曲线无交点;当k=4,即4-k=0时,有唯一实根,即两条曲线只有一个交点;当k>4,即4-k<0时,由于;,故有两个实根,分别位于(0,1)与内,、此题总分值12分设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,=f(x)的方程;曲线y=sinx在上的弧长为,试用表示曲线y=f(x)的弧长s.【答案】(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为,其中(X,Y)=0,那么,故Q点的坐标为由题设知,即积分得(C为任意常数).由知C=1,故曲线y=f(x)的方程为(2)曲线y=sinx在[0,]上的弧长为曲线y=f(x)的参数方程为故,令,那么=九、此题总分值10分有一平底容器,其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面〔如图〕,,当以的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以的速率均匀扩大〔假设注入液体前,容器内无液体〕.根据t时刻液面的面积,写出t与之间的关系式;求曲线的方程.(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分.)【答案】(1)设在t时刻,液面的高度为y,那么由题设知此时液面的面积为,从而(2)液面的高度为y时,液体的体积为上式两边对y求导,得,即解此微分方程,得,其中C为任意常数,由知C=2,故所求曲线方程为十、此题总分值10分设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且假设极限存在,证明:在(a,b)内f(x)>0;在(a,b)内存在点,使;(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点,使【答案】(1)因为存在,故又,于是f(x)在(a,b)内单调增加,故(2)设F(x)=,,那么,故满足柯西中值定理的条件,于是在(a,b)内存在点,使,即.(3)因,在上应用拉格朗日中值定理,知在内存在一点,使,从而由(2)的结论得,即有十一、此题总分值10分假设矩阵相似于对角阵,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使【答案】矩阵A的特征多项式为=,故A的特征值为由于A相似于对角矩阵,故对应应有两个线性无关的特征向量,即,于是有由,知a=,当时,,解方程组得对应于的特征向量令,那么P可逆,并有十二、此题总分值8分平面上三条不同直线的方程分别为,,.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为【答案】必要性设三条直线交于一点,那么线性方程组(*)有唯一解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,于是由于=,但根据题设,故充分性:由,那么从必要性的证明可知,,故秩由于=,故秩(A)=,秩(A)=秩=(*)有唯一解,即三直线交于一点.