文档介绍：基于LQR的直线一级倒立摆控制
摘 要:在倒立摆系统的数学模型基础上,对系统进行了性能分析。采用LQR对一级倒立摆进行了最优控制器的设计,并将其应用于倒立摆实际控制中,实时控制效果良好。
关键词:LQR,倒立摆,实时控制
An Linear Inverted Pendulum Control Based on LQR
Xie Lirong,Wang Zhiyong,Wang Li
Abstract:In this paper ,on the base of the model of the single inverted pendulum, analysy the capability of the system. An LQR - based on optimal control system is designed used to the actual control of an inverted pendulum and acquire a good effect.
Keywords:LQR,Inverted Pendulum,Real Control
0 引言
倒立摆系统是非线性、强藕合、多变量和自然不稳定的系统。线性二次型最优控制(Linear Quadratic Regulator—LQR)问题在现代控制理论中占有非常重要的位置。由于线性二次型(LQ)性能指标易于分析、处理和计算,而且通过线性二次型最优设计方法得到的控制系统具有较好的鲁棒性与动态特性等优点,线性二次型在控制界得到普遍重视。运用LQR对倒立摆进行最优控制系统,并从实时控制效果出发,
1 倒立摆系统分析
深圳固高公司研制开发的一级直线倒立摆GIP-100-L ,它是一个单输入多输出的四阶控制系统,结构组成如图1所示。
图1  倒立摆系统构成
 倒立摆系统模型
对倒立摆系统进行受力分析[1]可以得到系统的状态空间表达式为:
 倒立摆系统稳定性分析
对式(1)所描述的倒立摆系统进行阶跃响应分析[2]。小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如图2和图3所示。
图2 小车位移阶跃响应曲线
图3 小车角度阶跃响应曲线
小车位移和摆杆角度都是发散的,倒立摆系统不稳定。
 倒立摆系统能控性分析
系统能控性是控制器设计的前提。由能控性矩阵M=[B AB …An-1B ],在MATLAB中利用可控性矩阵的ctrb命令来计算,可以得出Rank(M)=4,可知系统可控。
2 LQR控制器设计
 二次型最优控制原理
设给定线性定常系统的状态方程为 
二次型性能指标函数[3]: 
其中:加权阵Q和R是用来平衡状态向量和输入向量的权重,Q是半正定阵,R阵是正定阵。
最优控制规律: 
其中:K为最优反馈增益,P为黎卡提矩阵方程的解。
黎卡提矩阵方程: 
则,最优反馈增益K为:
 LQR参数
由MATLAB语句K=lqr(A,B,Q,R),取Q=diag(1000,0,70,0),求得K=[- ,-,,],即为LQR控制器控制器参数[5]。
3 系统仿真与实控
在MATLAB