文档介绍:复变函数总结资料
篇一:
复变函数总结第一章复数的运算与复平面上的拓扑
1.复数的定义一对有序实数(x,y)构成复数z?x?iy,其中x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1, X称为复数的实部,y称为复数的虚部。复数的表示方法1)模:
z? 2)幅角:
在z?0时,矢量与x轴正向的夹角,记为是位于(??,?]中的幅角。 arg?z?Arg?z?(多值函数);主值 3)arg?z?与 arctan y x之间的关系如下:
y x;当x?0, argz?arctan? y?0,argz?arctan??x?0,? ?y?0,argz?arctan??当y ??xy??x 4)三角表示:
z?z?cs??isin??,其中??argz;注:
中间一定是“+”5)指数表示:
2.复数的四则运算1).加减法:
若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2).乘除法:
3)若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2? z?zei?,其中??argz;。 z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1 ????i2222z2x2?iy2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 4)若 z1?z1ei?1,z2?z2ei?2,则 z1z2?z1z2ei??1??2? ; z1i??1??2?z1?ez2z2
5.无穷远点得扩充与扩充复平面复平面对内任一点z,用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作?.这样的球面称作复球面这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集复平面中领域,内点,外点,边界点,聚点,闭集等概念复数序列的极限和复数域的完备性复数的极限,,柯西收敛定理,魏尔斯特拉斯定理,聚点定理等从实数域里的推广,可以结合实数域中的形式来理解。第二章复变量函数
1.复变量函数的定义设 G是一个复数 z?x?iy 的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则, 对于集合 G中的每一个复数 z, 就有一个或几个复数?u?iv 与之对应,那末称复变数是复变数z 的函数(简称复变函数), 记作?f(z). 1)复变函数的反演变换(了解) 2)复变函数性质反函数有界性周期性, 3)极限与连续性极限:
设函数?f(z)定义在 z0 的去心邻域连续性0?z?z0??内, 如果有一确定的数 A存在,对于任意给定的??0, 相应地必有一正数?(?)使得当 0?z?z0??(0????)时,有f(z)?A?? 那末称A 为f(z)当 z趋向于 z0 时的极限. 如果 limf(z)?f(z0), 那末我们就说 f(z) z?z0在 z0 处连续.如果f(z)在区域 D内处处连续, 我们说f(z)在 D内连续.
2.复变量函数的形式偏导1)复初等函数ez?ex?csy?isiny??e 2)指数函数: