文档介绍：《圆锥曲线与方程》(理)知识点串讲
一、椭圆
文字叙述:平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于),两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
数学语言:集合,其中,,,,为常数,则集合表示以,为焦点的椭圆.
注意:(1)与圆的定义(平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹)类比可知:二者的定义方式一致———都是通过对平面内与定点的距离满足某些条件的动点的轨迹研究得出的.
(2)注意椭圆定义中的限制条件:当时,点的轨迹为线段;当时,点的轨迹不存在(或不表示任何图形).
(1),焦点在轴上;
(2),焦点在轴上.
注意:(1)参数关系:,,中最大.
(2)判断焦点位置的方法:
①椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大;
②椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大.
,其焦点位置有如下规律:当时,焦点在轴上;当时,焦点在轴上.
注意:在求椭圆的标准方程时,有时不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的标准方程为,不必考虑焦点位置,:求焦点在坐标轴上,且经过和两点的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点总在它的长轴上.
(2)离心率的大小对椭圆形状的影响:
∵.
∴当趋近于1时,变小且越接近于,椭圆越扁平;当趋近于时,变大且越接近于1,椭圆越圆.
二、双曲线
文字叙述:在平面内到两个定点,距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
数学语言描述:集合,其中,,,为常数,则集合表示以,为焦点的双曲线.
注意:(1)定义中的限制条件.
当时,点的轨迹为以,为端点的两条射线;
当时,轨迹不存在(或不表示任何图形);
当时,点的轨迹是线段的垂直平分线.
(2)定义中的“绝对值”“绝对值”,点的轨迹表示双曲线的两支;若去掉“绝对值”,点的轨迹仅为双曲线的一支.
(1),焦点在轴上;
(2),焦点在轴上.
注意:双曲线与椭圆标准方程的不同:
(1)“+”、“-”号不同:椭圆标准方程中是“+”号,双曲线标准方程中是“-”号;
(2)的大小关系不同:椭圆标准方程中,而双曲线中大小不确定;
(3)关系不同:椭圆标准方程中,而双曲线中.
,其焦点位置有如下规律:
当,时,焦点在轴上;当,时,焦点在轴上.
注意:当不知焦点在哪个坐标轴上,:求焦点在坐标轴上,且经过和的双曲线的标准方程.
(1),双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据,由于,当从接近1逐渐增大时,的值就从接近于逐渐增大,双曲线的“张口”逐渐增大.
(2)要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法.
∵,
∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程.
(3)已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法:
①渐近线方程为的双曲线的方程为:(且为常数).