文档介绍：数
学
重
点
压
轴
之
折
叠
旋
转

1. (06江苏徐州卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边,边,且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上,,使点A落在边DC上,设点是点A落在边DC上的对应点.
(图1)
(1)当矩形ABCD沿直线折叠时(如图1),
求点的坐标和b的值;
(2)当矩形ABCD沿直线折叠时,
①求点的坐标(用k表示);求出k和b之间的关系式;
②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分
为如图2、3、4所示的三种情形,
请你分别写出每种情形时k的取值范围.
(将答案直接填在每种情形下的横线上)
(图4)
(图2)
(图3)

k的取值范围是; k的取值范围是;k的取值范围是;
[解] (1)如图答5,设直线与OD交于点E,与OB交于点F,连结,则
OE = b,OF = 2b,设点的坐标为(a,1)
因为,,
所以,所以△∽△OFE.
所以,即,所以.
所以点的坐标为(,1).
连结,则.
在Rt△中,根据勾股定理有,
即,解得.
(2)如图答6,设直线与OD交于点E,与OB交于点F,连结,则
OE = b,,设点的坐标为(a,1).
因为,.
所以,所以△∽△OFE.
所以,即,所以.
所以点的坐标为(,1).
连结,在Rt△中,,,.
因为,
.
在图答6和图答7中求解参照给分.
(3)图13﹣2中:;
图13﹣3中:≤≤;
图13﹣4中:
(图答5)
(图答7)
(图答6)
[点评]这是一道有关折叠的问题,主要考查一次函数、四边形、相似形等知识,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会。
2. (06广西钦州卷)如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点为原点,为上一点,把沿折叠,使点恰好落在边上的点处,点的坐标分别为和.
(1)求点的坐标;
(2)求所在直线的解析式;
5
D
O
E
A
x
y
C
M
B
(3)设过点的抛物线与直线的另一个交点为,问在该抛物线上是否存在点,,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)根据题意,得,
,.
点的坐标是;
(2),设,
则,
,
在中,.
.
5
D
H
O
G
E
A
x
y
C
F
M
B
解之,得,
即点的坐标是.
设所在直线的解析式为,

解之,得
所在直线的解析式为;
(3)点在抛物线上,.
即抛物线为.
假设在抛物线上存在点,使得为等边三角形,
根据抛物线的对称性及等边三角形的性质,得点一定在该抛物线的顶点上.
设点的坐标为,
,,
即点的坐标为.
设对称轴与直线交于点,与轴交于点.
则点的坐标为.
,点在轴的右侧,
,.
,
在中,,.
解之,得.
,.
点的坐标为.
在抛物线上存在点,使得为等边三角形.
[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题,综合性较强,这类试题在各地中考题中出现的频率不小,本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解,第3小题是探究型问题,是一道检测学生能力的好题。
3(06湖北咸宁卷)如图,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,.
(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求点,的坐标;
(2)若过点的抛物线与轴相交于点,求抛物线的解析式和对称轴方程;
(3)若(2)中的抛物线与轴交于点,在抛物线上是否存在点,使的内心在坐标轴上?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)
3
5
若(2)中的抛物线与轴相交于点,点在线段上移动,作直线,当点移动到什么位置时,两点到直线的距离之和最大?请直接写出此时点的坐标及直线的解析式.
4. .(07台州市) O
x
y
(第24题)
C
B
E
D
,四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点在轴上,点在轴上,将边
折叠,,且.
(1)判断与是否相似?请说明理由;
(2)求直线与轴交点的坐标;
(3)是否存在过点的直线,使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
解:(1)与相似.
理由如下:
由折叠知,,
(第24题图2)
O
x
y
C
B
E
D
P
M
G
l
N
A
F
,
又,
.
(2),设,
则.
由勾股定理得.