文档介绍：§ 傅立叶变换
对周期信号,如果令 T 趋于无穷大,则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现,周期信号因此变为非周期信号,即当时,有
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
当 T 增加时,基波频率变小、离散谱线变密,频谱幅度变小,但频谱的形状保持不变。
在极限情况下,周期T为无穷大,其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小。这样,原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成一片,形成非周期信号的连续频谱。
趋于有限值,记为,即
时
或者是
傅立叶变换
可以看出, 实际上表示了频率为分量的复振幅 Fn 与频率增量∆f 的比值,因此可以理解为是一种密度频谱。即表达了信号在ω处的频谱密度分布情况,这就是信号的傅立叶变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义,所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事。
傅立叶变换
一般为复函数,可以写为
曲线称为非周期信号的幅度频谱
曲线称为非周期信号的相位频谱
幅度谱和相位谱都是频率ω的连续函数,在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。
非周期信号的频谱有两个特点:密度谱、连续谱。
傅立叶变换
由信号的频谱重建非周期信号的表示式
因为
T→∞时,有
这就是傅立叶反变换的公式。
傅立叶变换
一般用符号表示取傅立叶变换,这样有
上两式称为傅立叶变换对,其中第一式称为傅立叶正变换,简称傅氏变换。而第二式称为傅立叶反变换,简称傅氏反变换。并采用下列记号:
傅立叶正变换
傅立叶反变换
傅立叶变换
的三角函数形式
傅立叶变换
从上式可以看出:
非周期信号和周期信号一样,也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。
不同的是,由于非周期信号的于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。
同时,三角函数振幅,故用频谱不能直接画出,必须用它的密度函数作出。
最后必须指出,从理论上讲,FT也应满足类似狄氏条件。
即绝对可积,但是是充分条件,而非必要条件。
讨论:
傅立叶变换
一般来说,非周期信号的能量是有限的,而平均功率等于零,所以它只有能量频谱而无功率频谱,对非周期信号,有
二、非周期信号的能量谱
即
定义
上式称为非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式,该式说明在时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。
函数为非周期信号的能量密度谱,简称为能量谱。