等差数列的前n项和.ppt

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中国人民大学附属中学
如图堆放一堆钢管,最上一层放了4根,下面每一层比上一层多放一根,共8层,这堆钢管共有多少根?
这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。
其中a1=4,公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想,在这堆钢管旁,如图所示堆放同样数量的钢管,这时每层都有钢管(4+11)根.
因此钢管的总数是(4+11) ×8÷2
=60(根)
这种算法对于等差数列前n项和的计算具有一般性。
等差数列的前n项和公式推导
等差数列{an}中,a1, a2 , a3 ,…an ,…的公差为d.
Sn= a1+a2 + a3 +··· +an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+···+[a1+(n-1)d]
Sn= an+an-1 + an-2 + ···+ a1
=an+(an-d)+(an-2d)···+[an-(n-1)d]
两式相加得
即
这就是说,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。
公式中代入等差数列的通项公式
得到
{an}的公差为2,第20项a20=29,求前20项的和S20.
解:因为29=a1+19×2,解得a1=-9,
所以
{an}的前n项和公式为Sn=2n2-30n
(1)这个数列是等差数列吗?求出它的通项公式;
(2)求使得Sn最小的序号n的值。
解:(1)将n-1代入到数列的前n项和公式,
得Sn-1=2(n-1)2-30(n-1),
因此an=Sn-Sn-1=4n-32,(n≥2),
当n=1时,a1=S1=2-30=-28,也适合上式,
所以这个数列的通项公式是an=4n-32。
(2)因为
又因为n是正整数,
所以当n=7或=8时,Sn最小,
最小值是-112.
对Sn的深入认识
n
an
O
an = 4n—14
已知一个等差数列
an = 4n—14
它是一个关于n的一次函数,它的图象是在一条直线上的若干点。
n
Sn
O
6
Sn = 2n2-12n
它的前n项和是
Sn = 2n2-12n
这是一个关于n的二次函数,且二次函数的常数项为0.
反之若一个数列{an},它的前n项和的表达式是关于n的二次函数,且二次函数的常数项为0,则这个数列是等差数列
它的图象是抛物线上的若干点。