文档介绍：第 6 章变分原理与有限元法
微分方程的变分解法
连续介质的场问题,如应力场、温度场、电磁场等,在数学上可用偏微分方程或微分方
程组及其相应的边界条件和初始条件来描述。其定态问题,常常称为边值问题。它们的解是
在由已知边界条件所定义的区域中寻求的。但是,许多问题由于边界条件比较复杂,直接从
微分方程求精确解比较困难,甚至不可能。因此,有限元法在求解场问题上得到了广泛的应
用。
这里,我们将有限元法解释为求解改进的变分问题和加权余量问题的一种近似方法,以
便把有限元分析广泛地应用到求解场问题的领域中。
由于求解微分方程的边值问题和变分法(泛函求极值方法)具有等价性,故对复杂的微
分方程连同它的边界条件(自然边界条件),首先转化为求泛函的极值问题,然后采用有限
元的离散方法求泛函的极值,从而建立有限元方程求解。很多工程物理问题,它们变量之间
的关系,既可以用微分形式表达,也能找到它们的积分形式(泛函形式),其共同规律就是
能量积分。特别是这些问题在定常和平衡状态下,它们的势能最小,只是形式不同而已。因
此,求定常和平衡状态下的场量分布,都可以利用变分法求解。
利用经典的变分直接法求解偏微分方程,对于复杂的边界条件在选择近似函数时遇到困
难,于是将整个求解域进行剖分(分片插值),使变分解法又前进一步,这就是根据变分原
理发展而来的有限元法。它在求解椭圆型微分方程方面得到了广泛的应用。这里,我们首先
简要地介绍一下变分法的基本原理。
泛函极值求解与欧拉方程
如图 ,要求点 A 到点 B 之间距离最短的一条曲线,这就是一个简单的变分问题。列
出 A、B 两点之间曲线的关系式为:
dL222=+ dx dy (6-1)
解出 L 即得
x1
L ⎡⎤yx()=+1 ydx′2 (6-2)
⎣⎦∫x
0
式中: L 是 A 到 B 的曲线长度。由式(6-2)可以看出, yx( ) 不同,则 L ⎣⎦⎡⎤yx()也不同,
y
Ax(,00 y )
o x
B(,xy )
11 Pxy(, )
yx()
B(,xy11 )
Ax(, y )
00 y v
o x
图 AB 曲线图 物体下滑曲线
即 L ⎣⎦⎡⎤yx()依赖于 yx()而变化,我们把 L ⎣⎡ yx( )⎦⎤叫做泛函数,简称泛函。它是一个定积
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分表达式。许多物理和工程问题的泛函能够从能量原理得出。
又如图 ,有一物体从点 A( xy00, ) 下滑到点 Bx( 11, y) ,问它沿怎样一条曲线下滑到
点 B 时所需时间最短,这也是一个泛函数极值的变分问题,其泛函表达式很容易推得为
2
x1 1+ y′
Tyx⎡⎤()= dx (6-3)
⎣⎦∫x
0 2gy
上面两例都是要求出使泛函达到最小值的 yx( ) ,也就是要确定一条极值曲线。
下面我们对泛函的变分和泛函的极值简要地加以说明。
在讨论泛函的变分以前,我们回顾一下函数微分的定义。若自变量 x 有一个增量Δx ,
则函数 yx( ) 也有一增量Δyx( ) ,且
Δ=+Δ−yx() yx( x) yx( )
而函数的微分为
dy( x) = y′( x) dx
按拉格朗日定义 yx( ) 的微分为
∂
dy() x=+Δ y() xα x
∂αα=0
与上述函数微分定义作对比,泛函变分的含义是在泛函π⎣⎡ yx( )⎦⎤中,自变量是一个函
数,称作自变函数。自变函数有一个增量δ yx( )(相当于上述Δx )称自变函数的变分。它
是指两个自变函数 yx( ) 与 yx1 ( ) 之差,即δ yx( ) =− y1 ( x) yx( ) ,如图 所示。我们把
泛函的变分记作δπ[]yx(),那么类似于拉格朗日求导数的定义,可得
∂
δπ[]yx()=+ π[ yx() αδ yx () ]
∂αα=0 y
现在把函数的极值和泛函的极值加以对 y1()x B
比。如果函数在点的函数值比
yx( ) x0 yx( 0 ) y()x
在 x0 的适当小的邻域内的其它各点的值都要
A
小(或都要大),即 yx( 0 ) < yx( ) (或
o x
yx()0 > yx ()),则称 yx()0 为 yx( ) 的极小
值(或极大值)。其实现极值的必要条件是,
图 自变函数的变分
yx( ) 在点 x0 处有
dy( x) = 0
按拉格朗日定义,函数极