第二章-复变函数.ppt

文档介绍：导数
定义
第二章解析函数
设函数在区域D上有定义,且,
,如果极限
存在,则称此极限为函数在z 点的导数,记为:
或,这时称函数在z 点可微
(或可导). 显然,函数必须在点z 连续,才有可能在 z 点可导.
运算规则
称为f在 z 点的微分
复函数是一个二元函数(实部和虚部),复数空间又是个二元空间,故复函数类似于一个矢量场,其导数一般应与方向有关。
可导:对任何方向的,极限都存在并唯一。
可导:对任何方向的,极限都存在并唯一。
x
y
z
复数
0
x
实数
因此,复函数的可导性是比实函数的可导性强的多的条件。
柯西—黎曼方程
沿实轴
沿虚轴
可导,要求二者相等
必要条件
柯西—黎曼方程
例如,所以:
由于
由于偏导数虽然存在,但不满足C--R条件,因而在复平面上处处不可微.

2) C--R条件不是复变函数可微的充分条件.
例如:函数在z = 0点满足C--R条件,但不可微。由于,
,于是
1) C--R条件不满足,函数一定不可微
显然满足C--R条件,但在z=0点并不可微,因为

当沿射线趋于零时,
与k 有关,沿不同的射线,k 值不同,所以该极限不存在,从而函数在z = 0点不可微.
定理: 在可微, 在点(x , y)处可微,并满足C--R条件.
由上述定理可得:复变函数与实变函数的导数有本质上的差别,复变函数可微,不但要求复变函数的实部与虚部可微,而且还要求其实部与虚部通过C--R条件联系起来。
上述条件满足时f(z)在点z=x+iy的导数可以表示为:
复函数f可微的充分必要条件
该定理对闭域也成立。