文档介绍：2009中考数学辅导之—二次函数的图象和性质
一、学习目的:
理解并掌握二次函数的概念.
了解二次函数的图象的位置关系.
会求二次函数的顶点坐标,对称轴方程及最大值或最小值.
会画二次函数的图象,能解较复杂的二次函数题目.
二、基本知识及说明:
函数叫做二次函数.
,抛物线的开口向上;时,抛物线的开口向下;对称轴是轴;顶点坐标是(0,0);时,=0;=0.
和,通过解析式我们得知,对于同一个自变量的值,的值总比的值大或小||个单位.(,,对于同一个的值的值大3个单位)这一特点反映在函数图象上就是将的图象上的各点向上平移||个单位.()此时的对称轴仍是轴,而顶点坐标是(0,),它的开口方向与的图象的开口一样,;而的图象与的图象各点具有对于同一个值,值不同,譬如列表:
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
2
0
2
…
2
0
2
对于同一个,在中,对应的是-3和3,在中, 对应的值是--6比-3小3个单位,0比3小3个单位,这说明:对于同一个所对应的值,总比所对应的值小3个单位.
y
x
这些特性反映在图象上就是将图象上各点向左平移3个单位得到函数的图象上的点,,将的图象向右平移2个单位得到的图象,总之将的图象向左或向右平移|h|个单位(h>0时向左移动;h<0时,向右移)就得到的图象,由于图象左右移动,对称轴发生变化,不是轴了,而是直线,顶点是(0).
由于的图象是将的图象向上平移2个单位,而是由的图象向左平移3个单位,所以是由的图象向左平移3个单位,再向上平移2个单位得到的,其顶点是(-3,2),对称轴是.
、对称轴方程的求法有2种:一种是将配方成的形式,如:
= ……(加上并减去一次项系数的一半的平方)
=
=
所以顶点是(-3,2),对称轴是.
,,准确性不高;因此最好用公式求,尤其是当系数是整数时.
,也可写成.
①若>0,>0,则,即顶点的纵坐标为负,则顶点在轴下方,而抛物线向上伸展,所以抛物线一定与轴相交.
0 x
②若>0,,顶点在轴上方,抛物线向下伸展,则抛物线与轴也一定有两个交点. y
0 x
③若=0,,抛物线与轴只有一个交点.
④若<0,,顶点在轴上方,而抛物线向上伸展,故与轴不相交. y

0 x y
⑤若<0,,抛物线向下伸展,所以抛物线与轴不相交.
0
所以,(1)>0抛物线一定与轴有两个交点.
(2)=0,抛物线与轴有一个交点.
(3)<0,抛物线与轴没有交点.
判断抛物线与轴有无交点,就是判定的值是正还是负.
再例如求与轴的交点坐标,因交点在轴上,也在抛物线上,所以纵坐标,即,;所以与轴交点坐标是(3,0)和(-1,0).这说明求抛物线轴的交点坐标,就要求的根,交点坐标是()和(),而求与轴的交点坐标,就是.
,应先求出顶点坐标,对称轴方程,然后按照对称性列表、描点、连线.