§5.4 实对称矩阵的相似矩阵.ppt.ppt

文档介绍：§ 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
定理5: 实对称矩阵的特征值为实数.
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均指实对称矩阵.
用表示的共轭复数, 用表示x的共轭复向量.
证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征值的特征向量, 即
Ax =x,
于是有
及
两式相减, 得
但因为x0, 所以,
即
由此可得, 是实数.
则
定理1的意义: 由于实对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次线性方程组
( A–iE ) x = 0
是实系数方程组, 由| A–i E | = 0 知, 必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.
定理6: 设1, 2是对称矩阵A的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量, 若12, 则p1与p2正交.
证明: 由条件知, Api = i pi ( i =1, 2), A = AT.
所以, 1 p1T = (1 p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,
1 p1Tp2 = (1 p1T) p2
于是
= p1T(Ap2)
= (p1TA) p2
= p1T(2 p2)
= 2 p1Tp2,
则
(1 –2 ) p1Tp2 = 0.
再由12 得, p1Tp2 = [p1, p2] = 0,
即 p1与p2 正交.
定理7: 设A为n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根, 则矩阵(A–E )的秩R(A–E ) = n–r, 从而对应 r重特征值恰有r 个线性无关的特征向量.
这个定理的证明超出本课程范围, 证明略.
定理8: 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使P-1AP =, 其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.
证明: 设A的互不相等的特征值为1, 2 , ···, s , 它们的重数依次为r1, r2 , ···, rs , 且r1 + r2 + ··· + rs = n .
根据定理5和定理7可得:
对应特征值i ( i =1, 2, , s), 恰有ri 个线性无关的实特征向量. 把它们正交化, 单位化, 即得ri个单位正交的特征向量.
这样的特征向量共可得n个.
由于r1+r2+···+rs = n,
由定理2知, 对应于不同特征值的特征向量正交,故这n个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵P, 则
P-1AP =,
其中对角矩阵的对角元素含r1个1 , ··· ,rs个s, 恰是A的n个特征值.
二、对称矩阵正交对角化的方法
根据上述结论, 利用正交矩阵将对称矩阵A化为对角矩阵, 其具体步骤为:
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ;
2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量;
3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为对角阵.
解: 第一步, 求A的特征值.
| A–E |=
=(4–)(–1)(+2)=0
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
得基础解系
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
得基础解系
对2=1,由(A–E)x=0, 得
得基础解系
对2=–2,由(A+2E)x=0, 得
第三步, 将特征向量正交化.
由于1, 2, 3是属于A的3个不同特征值1, 2, 3的特征向量, 故它们必两两正交.
第四步, 将所有特征向量单位化.
令
得
作
则
例2:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为对角阵.
解: 第一步, 求A的特征值.
| A–E |=
= (2–)(4–)2=0
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
得基础解系
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
得基础解系
对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得
第三步, 将特征向量正交化.
第四步, 将所有特征向量单位化.
由于2, 3恰好正交, 故1, 2, 3两两正交.
令
得
于是得正交阵
则
求得基础解系为
如果对2=3=4, 由(A–4E)x=0, 得
由于2, 3不正交, 需要将其正交化: