文档介绍：排列组合与概率原理及解题技巧
一、基础知识
:做一件事有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
:做一件事,完成它需要分n个步骤,第1步有m1种不同的方法,第2步有m2种不同的方法,……,第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示,=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,
注:一般地=1,0!=1,=n!。
=(n-1)!。
:一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示:
:(1);(2);(3);(4);(5);(6)。
:不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B,A的每个装法对应B的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数,i=1,2,…,n,便得到A的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n份,共有种。故定理得证。
推论1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为
推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合,其组合数为
:若n∈N+,则(a+b)n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。
:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件A发生的概率,记作p(A),0≤p(A)≤1.
,如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件A包含的结果有m种,那么事件A的概率为p(A)=
:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么A1,A2,…,An中至少有一个发生的概率为
p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).
:事件A,B为互斥事件,且必有一个发生,则A,B叫对立事件,记A的对立事件为。由定义知p(A)+p()=1.
:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
:两个