文档介绍：该【高中数学求数列通项的常用方法 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学求数列通项的常用方法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。求数列通项公式的方法本文章总结了求数列通项公式的几种常见的方法,分别有:公式法,累加法,累乘法,待定系数法,对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法。希望对大家有所帮助~~~关键字:数列,通项公式,方法一、公式法例1已知数列{an}满足an12an32n,a12,求数列{an}的通项公式。解:an12an32n两边除以n1,得an1an3,则an1an3,故数列an是以a121为首项,以322n12n22n12n2{2n}2122为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得an1(n1)3,所以数列{an}的通项公式为an(3n1)2n。2n222评注:本题解题的关键是把递推关系式an2an32nan1an3an1转化为2n1n,说明数列{n}是等差数列,再直接an1)3222利用等差数列的通项公式求出1(n,进而求出数列{an}的通项公式。2n2二、累加法例2 已知数列{an}满足an1 an 2n 1,a1 1,求数列{an}的通项公式。解:由an1 an 2n 1得an1 an 2n 1则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列{an}的通项公式为ann2。评注:本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1,进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数列{an}的通项公式。例3已知数列{an}满足an1a23n1,a3,求数列{an}的通项公式。n1解:由an1 an 2 3n 1得an1 an 2 3n 1则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(23n11)(23n21)(2321)(2311)32(3n13n23231)(n1)323(13n1)(n1):本题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1,进而求出an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数列{an}的通项公式。例4已知数列{an}满足an13an23n1,a3,求数列{an}的通项公式。1解:an13an23n1两边除以3n1,得an1an21,3n13n33n1an1an21则n13n33n1,故3ananan1)(an1an2an2an3(a2a1a1n(nan1n2)(n2n3)21)333an133333(21n)(2n11)(2n12)(212)33333333332(n1)(1111113nnn13n22)33331n1因此an2(n1)3n(13)12n11,:本题解题的关键是把递推关系式an13an23n1转化为an1an211,进而求出3n13n3n3(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1,即得数列an的通项公式,最后再求数列{an}的通3n3n13n13n23n23n3323133n项公式。三、累乘法例5 已知数列{an}满足an1 2(n 1)5n an,a1 3,求数列{an}的通项公式。解:因为an12(n1)5nan,a13,所以an0,则an12(n1)5n,故anananan1a3a2a1an1an2a2a1[2(n11)5n1][2(n21)5n2][2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)32]5(n1)(n2)2132n1n(n1)352n!2n15n(n1)所以数列{an}的通项公式为an32n!.评注:本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为an12(n1)5n,进而求出ananan1a3a2a1,即得数列{an}的通项公式。an1an2a2a1例6已知数列{an}满足a11,ana12a23a3(n1)an1(n2),求{an}的通项公式。解:因为ana12a23a3(n1)an1(n2)①所以an1a12a23a3(n1)an1nan②用②式-①式得 an1 an (n 1)an(n 2)故an1n1(n2)ananan1a3a2[n(n1)43]a2n!③(n1)an1(n2),取n2得a2a12a2,则a2a1,又知a11,则a21,代入③得an1345nn!。2所以,{an}的通项公式为ann!.2评注:本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)an1n1(n2),进而求出转化为ananan1a3a2,从而可得当n2时,an的表达式,最后再求出数列{an}的通项公式。an1an2a2四、待定系数法例7已知数列{an}满足an12an35n,a16,求数列a的通项公式。n解:设an1 x 5n1 2(an x 5n) ④将an12an35n代入④式,得2an35nx5n12an2x5n,等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n,得35x2x,则x1,代入④式得an15n12(an5n)⑤由a1516510及⑤式得an5n0,则an15n12,则数列{an5n}是以a1511为首项,以2为公an5n比的等比数列,则an5n2n1,故an2n15n。评注:本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5n),从而可知数列{an5n}是等比数列,进而求出数列{a5n}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。n例8 已知数列{an}满足an1 3an 5 2n 4,a1 1,求数列{an}的通项公式。解:设an1 x 2n1 y 3(an x 2n y) ⑥将an1 3an 5 2n 4代入⑥式,得3an 5 2n 4 x 2n1 y 3(an x 2n y)整理得(5 2x) 2n 4 y 3x 2n 3y。52x3xx5令y3y,则,代入⑥式得4y2an1 5 2n1 2 3(an 5 2n 2) ⑦由a1 5 21 2 112 13 0及⑦式,得an52n20,则an152n123,a52n2n故数列{an52n2}是以a1521211213为首项,以3为公比的等比数列,因此an52n2133n1,则an133n152n2。评注:本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2),从而可知数列{an52n2}是等比数列,进而求出数列{an52n2}的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。例9已知数列{an}满足an12an3n24n5,a1,求数列{an}的通项公式。1解:设an1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z) ⑧将an12an3n24n5代入⑧式,得2an 3n2 4n 5 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z),则2an (3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2an 2xn2 2yn 2z等式两边消去 2an,得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2xn2 2yn 2z,3x2xx3解方程组2xy42y,则y10,代入⑧式,得xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)⑨由a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0及⑨式,得an 3n2 10n 18 0则an13(n1)210(n1)182,故数列{an3n210n18}为以a**********为首项,an3n210n18110以2为公比的等比数列,因此an3n210n18322n1,则an2n43n210n18。评注:本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为an13(n1)210(n1)182(an3n210n18),从而可知数列{an3n210n18}是等比数列,进而求出数列{an3n210n18}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。五、对数变换法例10 已知数列{an}满足an1 2 3n an5,a1 7,求数列{an}的通项公式。解:因为an123nan5,a17,所以an0,an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2⑩设lgan1x(n1)y5(lganxny)○11将⑩式代入11式,得5lgannlg3lg2(n1)y5(lganxn)○xy,两边消去5lgan并整理,得(lg3 x)n x y lg2 5xn 5y,则lg3x5xxlg34,故xylg2lg3lg25yy164代入○11式,得lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2)○1241644164由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg20及○12式,41644164得lganlg3nlg3lg20,4164lgalg3(n1)lg3lg2n141645,则lg3nlg3lg2lgan4164所以数列{lganlg3lg3lg2lg3lg3lg25为公比的等比数列,则4n164}是以lg74164为首项,以lganlg3nlg3lg2(lg7lg3lg3lg2)5n1,因此41644164lgan(lg7lg3lg3lg2)5n1lg3nlg3lg24164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg34lg316lg24111n11[lg(73431624)]5n1lg(3431624)111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)lg(75n15n1n5n115n113431624)lg(75n15n4n15n1131624)75n15n4n15n11则an31624。评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123nan5转化为lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2),从而可知数列{lganlg3nlg3lg2}是等比数4**********列,进而求出数列{lganlg3nlg3lg2}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。4164六、迭代法例11已知数列{an}满足an1an3(n1)2n,a15,求数列{an}的通项公式。解:因为aa3(n1)2n,所以aa3n2n1[a3(n1)2n2]3n2n1n1nnn1n232(n1)n2(n2)(n1)an2[an3(n32)2n3]32(n1)n2(n2)(n1)3(n3)(n2)(n1)an3(3n2)(n1)n2a3n123(n2)(n1)n212(n3)(n2)(n1)1n1n(n1)an!2231n(n1)又a15,所以数列{an}的通项公式为an53n1n!22。评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an1an3(n1)2n两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan,即lgan13(n1)2n,再由累乘法可推知lganlganlgan1lga3lga2n(n1)3n1n(n1)n1n!22n!2lganlga1lg53,从而an52。lgan1lgan2lga2lga1七、数学归纳法例12已知数列{an}满足an1a8(n1),a8,求数列{an}的通项公式。n(2n1)2(2n3)2198(n1)及a8解:由an1an,得(2n1)2(2n3)219a2a18(11)88224(211)2(213)2992525a3a28(21)248348(221)2(223)225254949a4a38(31)488480(231)2(233)249498181由此可猜测an(2n1)21,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n1)2(1)当n1时,a1(211)218,所以等式成立。(211)29(2)假设当nk时等式成立,即ak(2k1)21,则当nk1时,(2k1)2ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知,当nk1时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何 n N*都成立。评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13已知数列{an}满足an1124an),a11,求数列{an}的通项公式。1(14an16解:令bn124an,则an1(bn21)24故an11(bn211),代入an11(14an124an)得24161(bn211)1[141(bn21)bn]241624即4bn21(bn3)2因为bn124an0,故bn1124an10则2bn1bn3,即bn11bn3,22可化为bn131(bn3),2所以{bn3}是以b13124a13124132为首项,以1为公比的等比数列,因此2bn32(1)n1(1)n2,则bn(1)n23,即124an(1)n23,得2222a2(1)n(1)n1。n3423评注:本题解题的关键是通过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转化bn11bn3形式,从而可知数列22{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。