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等等。Ⅰ、再现性题组:{an}中,a1a5+2a3a5+a3a7=25,则a3+a5=_______。+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。<k<<14或k>∈=14或k=+cos4α=1,则sinα+cosα的值为______。.--=log1(-2x2+5x+3)的单调递增区间是_____。2A.(-∞,45]B.[45,+∞)C.(-21,45]D.[45,3)+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上,则实数a=_____。【简解】1小题:利用等比数列性质ampamp=am2,将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。答案是:5。2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2,解r2>0即可,选B。3小题:已知等式经配方成(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题:答案3-11。Ⅱ、示范性题组:,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为 x,y,z ,则2(xyyzxz)11x2y2z2,将其配凑成两已知式的组合形式4(xyz),而欲求对角线长24可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:2(xyyzxz)114(xyz)。24长方体所求对角线长为:x2y2z2=(xyz)22(xyyzxz)=6211=5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。+kx+2=0的两实根为p、q,若(p)2+(q)2≤7成立,求实数k的取qp值范围。【解】方程x2+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2,(p2+(q2p4q4=(p2q2)22p2q2=[(pq)22pq]22p2q2=))=(pq)2(pq)2qp(pq)2(k24)28≤7,解得k≤-10或k≥10。4又∵p、q为方程x2+kx+2=0的两实根,∴△=k2-8≥0即k≥22或k≤-22综合起来,k的取值范围是:-10≤k≤-22或者22≤k≤10。【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。、b满足a2+ab+b2=0,求(a)1998+(b)1998。a b a b【分析】对已知式可以联想:变形为(a)2+(a)+1=0,则a=ω(ω为1的立方bbb虚根);或配方为(a+b)2=ab。则代入所求式即得。【解】由a2+ab+b2=0变形得:(a)2+(a)+1=0,bb设ω=a,则ω2+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:1=b,ω3=3=1。ba又由a2+ab+b2=0变形得:(a+b)2=ab,所以(a)1998+(b)1998=(a2)999+(b2)999=(a)999+(b)999=ω999+ababababba999=2。【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用 1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。【另解】由 a2+ab+b2=0变形得:(ab)2+(a)+1=0,解出b=13i后,化ba2成三角形式,代入所求表达式的变形式(a)999+(b)999后,完成后面的运算。此方法用于ba13i只是未联想到ω时进行解题。2假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a2+ab+b2=0解出:a=13ib,2直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。Ⅲ、巩固性题组:=(x-a)2+(x-b)2(a、b为常数)的最小值为_____。.(ab)、β是方程x2-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_____。A. -494 D. 不存在已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2x+8y有_____。-2ax+3y2+a2-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。.-6C.-2或-:21sin8+22cos8的结果是_____。-4cos4C.---y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠FPF=90°,12412则△F1PF2的面积是_________。>-1,则f(x)=x2+2x+1的最小值为___________。x1,sin(α+β)=-3,求sin2α的值。(〈β<α〈3π,cos(α-β)=1224135年高考题)设二次函数f(x)=Ax2+Bx+C,给定m、(nm<n),且满足A2[(m+n)2+m2n2]+2A[B(m+n)Cmn]+B2+C2=0。①解不等式 f(x)>0;②是否存在一个实数 t,使当t∈(m+t,n-t) 时,f(x)<0 若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。>1,t>1,m∈R,x=logst+logts,y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s),①将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;②若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式: 4x+2x-2≥0,先变形为设 2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y= x+ 1 x的值域时,易发现 x∈[0,1] ,设x=sin2α,α∈[0, ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中2主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量 x、y适合条件 x2+y2=r2(r>0)时,则可作三角代换 x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。均值换元,如遇到 x+y=S形式时,设 x=S+t,y=S-t等等。2 2我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,2]。Ⅰ、再现性题组:=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。(x2+1)=loga(4-x4)(a>1),则f(x)的值域是_______________。{an}中,a1=-1,an1·an=an1-an,则数列通项an=___________。、y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。=3的解是_______________。(2x-1)·log2(2x1-2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-2,2],则y=t2+t-1,对称轴t=-1,,ymax=1+22当t=22;22小题:设x2+1=t(t≥1),则f(t)=loga[-(t-1)2+4],所以值域为(-∞,loga4];3小题:已知变形为1-1=-1,设bn=1,则b1=-1,bn=-1+(n-1)(-1)an1anan=-n,所以an=-1;n4小题:设x+y=k,则x2-2kx+1=0,△=4k2-4≥0,所以k≥1或k≤-1;5小题:设3x=y,则3y2+2y-1=0,解得y=1,所以x=-1;35x6小题:设log2(2-1)=y,则y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以x∈(log24,log23)。Ⅱ、示范性题组: