文档介绍：该【完整版)全等三角形常用辅助线做法 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【完整版)全等三角形常用辅助线做法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时,有时需要添加辅助线,对于初学几何证明的学生来说,这往往是一个难点。下面介绍证明全等时常见的五种辅助线,供同学们研究时参考。一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用截长补短的办法。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例如,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。要证明AC=AE+CD,因为AE、CD不在同一直线上,所以在AC上截取AF=AE,只要证明CF=CD即可。具体证明过程为:在AC上截取AF=AE,连接OF。由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∠ABC=60°,因此∠1+∠2=60°,∠4=∠6=∠1+∠2=60°。显然,△AEO≌△AFO,因此∠5=∠4=60°,∠7=180°-(∠4+∠5)=60°。在△DOC与△FOC中,∠6=∠7=60°,∠2=∠3,OC=OC,因此△DOC≌△FOC,CF=CD,所以XXX。另一个例子是在图甲中,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。要证明CD=AD+BC。因为结论是CD=AD+BC,可以考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证明DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的。具体证明过程为:在CD上截取CF=BC,如图乙,因此△XXX≌△BCE(SAS),∴∠2=∠∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠XXX°,∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠△FDE与△ADE中,∴△XXX≌△ADE(ASA),∴DF=DA,因此CD=DF+CF,∴XXX。以上两个例子都是通过截长补短的方法来证明线段的和、差关系。1)为了证明线段和差的不等式,我们通常可以构造一个三角形,利用三角形中的两线段之和大于第三边、之差小于第三边的关系来证明。如果直接证明不出来,可以连接两点或延长某边构成三角形,再利用三角形三边的不等关系来证明。2)在涉及中线的三角形问题中,我们可以将中线延长一倍,构造全等三角形来解题。例如,在求第三边上中线长x的取值范围时,我们可以将中线与两个已知边转移到同一个三角形中,利用三角形的三边关系来进行分析和判断。3)在证明线段不等关系时,如果直接证明不出来,可以考虑构造一个三角形,将所要证的线段转移到同一个三角形中去。例如,要证明AB+AC>2AD,我们可以构造一个三角形,加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。4)在证明线段不等关系时,也可以连接两点或延长某边构成三角形,再利用三角形三边的不等关系来证明。例如,要证明CD=AB且∠BDA=∠BAD时,我们可以倍长AE至F,连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE(SAS),进而证明ΔADF≌ΔADC(SAS),最终得证∠C=∠BAE。5)在证明线段不等关系时,如果无法直接证明,可以考虑利用三角形的特殊性质来解决问题。例如,如果要证明BE=AC,我们可以构造等腰三角形BEG,从而得到BE=BG=AC。根据全等三角形对应边相等的性质,得到BE=CA。由于AB+BE>AE在△ABE中成立,可以得到AB+AC>2AD。要证明AC=BF,需要构造两个含有AC、BF的全等三角形。但是题目中没有直接给出这样的三角形,因此需要采用其他方法。一种方法是利用等角对等边的性质,将AC、BF转移到同一个三角形中,并证明它们所对的角相等。可以以三角形ADC为基础三角形,将线段AC延长到H点,令DH=AD,连接BH,证明△ADC和△HDB全等,从而得到AC=BH,再证明∠H=∠BFH,得到BF=BH,进而得到BF=AC。另一种方法是过B点作BH平行于AC,与AD的延长线相交于点H,证明△ADC和△HDB全等即可。另外,当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时,可以通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角,从而为证明全等提供条件。例如,在等腰△ABC中,根据等腰三角形条件可知∠B=∠ACB,作DH∥AE,得到△DBH为等腰三角形,可以利用它来证明DF=EF。综上所述,证明三角形全等的方法有很多种,其中包括利用全等三角形对应边相等、等角对等边、平行线等条件,还可以根据问题特点进行构造和补全图形。在一些求证三角形问题中,可以延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,以找到更多的相等关系,有助于问题的解决。例如,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD为∠ABC的平分线,若A点到直线BD的距离为AD=a,求BE的长度。我们可以通过构造其他的全等三角形来找到它们之间的关系。具体而言,我们可以延长AD、BC相交于F,由BD为∠ABC的平分线,BD⊥AF,易证△ADB≌△FDB,因此FD=AD=a,AF=2a,且∠F=∠BAD。又∠BAD+∠ABD=90°,∠F+∠XXX°,因此∠ABD=∠XXX。由于BD为∠ABC的平分线,∠ABD=∠XXX,因此∠XXX∠CBE,又∠XXX∠ACF=90°,AC=BC,因此△ACF≌△BCE(ASA),从而BE=AF=2a。另一方面,利用角的平分线对称构造全等也是常用的证明方法。例如,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,要证明AD=CD。由角的平分线条件,在BC上截取BE=BA,可构造△ABD≌△EBD,从而AD=DE。则只要证明DE=CD。在BC上截取BE=BA,连接DE,由BD平分∠ABC,易证△ABD≌△EBD,因此AD=DE,且∠A=∠BED。又∠A+∠C=180°,∠BED+∠DEC=180°,因此∠DEC=∠C,从而DE=CD,因此AD=CD。在解决全等三角形问题时,常见的辅助线作法有以下几种。首先,可以利用等腰三角形作底边上的高,以“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。其次,可以利用三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。最后,可以利用角平分线,自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,以三角形全等变换中的“对折”来解题,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4)利用全等变换中的“平移”或“翻转折叠”思维模式,可以通过过图形上某一点作特定的平分线来构造全等三角形。5)截长法与补短法是一种证明线段的和、差、倍、分等类题目的方法。具体做法是在某条线段上截取一条与特定线段相等的线段,或是将某条线段延长至与特定线段相等,然后利用三角形全等的有关性质进行说明。