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一类特殊(α,β)-度量的若干几何性质的中期报告.docx

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一类特殊(α,β)-度量的若干几何性质的中期报告.docx

上传人:niuww 2024/3/28 文件大小:10 KB

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文档介绍:该【一类特殊(α,β)-度量的若干几何性质的中期报告 】是由【niuww】上传分享,文档一共【2】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【一类特殊(α,β)-度量的若干几何性质的中期报告 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。一类特殊(α,β)-度量的若干几何性质的中期报告本文针对一类特殊的(α,β)-度量,探讨了其若干几何性质,并给出了中期报告。首先,我们给出该度量的定义:设X是一个非空集合,d是X上的一个度量,α、β是两个实数,其中β>1。如果对任意的x、y、z∈X,满足下列性质:(1)d(x,y)≥0,且当且仅当x=y时d(x,y)=0;(2)d(x,y)=d(y,x);(3)d(x,y)≤α(d(x,z)+d(z,y));(4)d(x,y)≤βd(x,z),当且仅当d(y,z)≤(β-1)d(x,z)时成立。则称d为一个(α,β)-度量。接着,我们探究该度量的几何性质。首先,我们有下列引理:引理1:对于任意的x、y、z∈X,成立下列不等式:(i)d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z);(ii)αd(x,y)+d(y,z)≥(α+1)d(x,z)。证明:(i)、(ii)可由三角不等式和性质(3)推导得出。接着,我们给出以下定理:定理1:在(α,β)-度量中,任意三点A、B、C在空间中的位置决定了一个边长比为α+β的三角形。证明:构造三角形ABC,令d(A,B)=1,d(B,C)=α+β-1,d(C,A)=α。根据引理1(ii),有αd(A,B)+d(B,C)≥(α+1)d(A,C),即α+β-1≥α+,β≥2,且d(C,A)≤βd(A,B)。又由引理1(i)知,d(C,B)≤d(C,A)+d(A,B)≤(α+1)d(A,B).因为β>1,所以有d(C,B)≤βd(A,B)。综上所述,我们证明了该定理。定理2:在(α,β)-度量中,圆的周长与直径的比值不超过αβ。证明:以O为圆心、r为半径的圆记为C(O,r)。设M、N、P是圆C(O,r)上的三个点,且OM=ON=r。由于d(M,P)≤αd(M,O)+αd(O,P)=αr+αr=2αr,同时由引理1(i)知,d(M,N)≥d(N,P)-d(M,P)。因此,d(M,N)≥r(αβ-2α+1)。在(α,β)-度量中,我们有d(M,N)≤βr,因此αβ-2α+1≤β。整理得到α≤β/(β-2)。因此,我们证明了该定理。综上所述,我们探讨了该(α,β)-度量的几何性质,并给出了定理及其证明。