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223又23x23,,cos0,又x0,,,,如图7-4,AD、BE、CF分别为△ABC的三条高,D、E、F分别为垂足,△ABC的外心,M、N、L分别是BC、CA、AB的中点,则OM、ON、OL:..,连结PL、PM,则PLAH,PLAH,PMHC,2226:..,OLCF,则PLMO,PMLO,即四边形PMOL为平行四边形.(或连结PO,有△PLO≌△OMP)有1OMLPAH,,-6所示,过点A作BC的垂线,垂足为点E,则有ABAEBE,222AC2AE2CE2,(AEBE)CD(AECE)BD(AEDE)BC222222AE2(CDBDBC)BE2CDCE2BDDE2BCBECDCEBDDEBC222(BDDE)CD(CDDE)BDDEBC222(BDDE2BDDE)CD(CDDE2CDDE)BDDEBC22222BDCDCDBDDEBCDEBC2222BDCDCDBD22:..:..CD,则很快得出上例的结论以及中线长的公式,一般地,只要ABC的三条边已知,上一点D的位置已知,则AD的长度便可直接求出来另外,此结论用余弦定理证明也是很快的:在△ABD中,由余弦定理可知,△ACD中,由余弦定理可知,;FAFBFCk假设:,,FAFBFC因为直线AC割三角形FAC,所以CCFAAG1,CFAAGC即11AG:..11kGC1mAG(1m)(1k)m8:..FBBEBE(1n)k同理1,可得到:EC(1k)nCFBBECBD(1n):DA(1m)n所以AGCEBD(1m)k(1k)n(1n)(1k)m(1n)k(1m)n所以、E、:将线段AB分成m:n(值不为1)的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上任意一点到两定点A、B的距离之比为定比m:-9,,BC,AD,mmnmmn,设ABnnl,,mn径R22ACADml,AO22mn22l,,对于上任意一点E有,EOABOE,所以EOEOnEBmEOAC∽△BOE,所以.:..n设不在圆上并且AE:BEm:nAC:-10,连结EC,则EC为三角形AEB的角平分线,如果EC或其延长线与圆有另一个交点E,则根据已证明的逆定理AE:BEm:nAC:BC,所以EC是三角形AEB的角平分线,于是很容易证明△AEE≌△BEE,该结论与m:,则EC与圆相切,于是容易证明△AEC≌△BEC,:BEm:nAC::..已知:、B、C、D共线,:BEAC:BCAD:BDm:n,O为CD中点,1求证:,,BO,.(1)如图7-12,连结DE、EF、PB、,PEBC可知,D、B、P、E四点共圆,,PEBC可知,P、E、C、F四点共圆,,PDAB,PFAC可知,CPFBPD,故BEDCEF,从而可知,点D、E、F三点共线.:..(2)由PDAB,PEBC可知,D、B、P、E四点共圆,,PEBC可知,P、E、C、F四点共圆,,:..又PDAB,PFAC,故PCFABP,从而可知,A、B、P、C四点共圆,即点P在△△ABC中,由余弦定理可得cosC222,代入上式可得2ab2222222222abc4ababc11Sab1ab24ab24ab222224ababc2ababc2ababc222222222221616((ab)(abc)(abc)(cab)(cab)(abc),故pc,pb,22222cab2p2apa,故Sp(pa)(pb)(pc).,△ABD中,由勾股定理可知,,ACADCD,,CDCMDM,BMCM,故AB2AC22AD2BD2CD22(AMDM)(BMDM)(CMDM)22222(AMDM)BMDMCMDM2222222AMBMCM2(AMBM).22222:..备注:本题就是三角形的中线长公式,设a、b、c为三角形的三边长,m、m、mabc11:..11分别为对应边上的中线,则有m2c2ab,m2b22c2a2,,当△ABC中B或者C为直角或钝角时,,可用余弦定理证明该结论:在△ABM中,由余弦定理可知,AB2AM2BM22AMBMcosAMB;在△ACM中,由余弦定理可知,,连结AM、、△(PM2BM2),①PA2PG22(PN2NG2),②PM2PN22(PG2NG2).③①+②并代入③得:,4NG2GA2,,99491122222222GBcab同理,:该结论前一个等式称为卡诺定理,后一等式称为莱布尼兹公式.:..:,过点A、D分别作BC的垂线,垂足分别为点E、F,易证△ABE≌△DCF,故BECF,:..由勾股定理可知,AC2AE2CE2,(BCBE)2(BCCF):在△ABD中,由余弦定理可知,△ACD中,由余弦定理可知,,:如果设两对角线的交点为点O,我们发现:△ABDABAD2OAOB在中,2222;△ACD在中,,,用中线长公式(或者斯德瓦尔特定理),ABCD为任意四边形,点E、F分别为BD、,于是可得,AB2BC22(BF2AF2),同理AD2CD22(DF2CF2).两式相加可得,ABBCADCD22222(DFBF)2(CFAF)22222(DFBF)AC.:..22213:..在△BDF中,BEDE,,AB2BC2AD2CD2AC2BD24EF2,:△DKL与点B,由塞瓦定理,△DKL与截线AGC,由梅涅劳斯定理,,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密定理,,作△ABC的外接圆,作弦BDBC,连结AD、,由托勒密定理,,CDAC,,,作直径AB1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,使ACa,BCb,BDx,、b、x、,有ACBDBCADABCD.:..因为CD≤AB1,所以axby≤:..△ABE的西姆松线是MNQ,点D对于△BFH的西姆松线是MNP,而M、N即可确定一条直线,故M、N、P、,由西姆松定理有:F、E、G共线,又因为BFDFDGDGB90,所以四边形BFDG为矩形,,一般是通过(或构造),:,在BD上取一点P,,所以△ACD∽△BCP,从而有,即BCBPACBPADBC.①又ACBDCP,56,ABAC所以△ACB∽△DCP,从面有,即DPCDACDPABCD.②①+②,(BPPD)ADBCABCD,:..:,设a,BCb,CDc,DAd,ACe,,由余弦定理,有cosDAB;2adbcf在△BCD中,同理,,所以cosDABcosBCD0,,得f2(ac;同理可得bd)e2(acbd)adbcabcd于是,(fe)2(acbd)2,.(1)一组三角形边长为8、8、12;11、11、,b,b2a,c,、,则有由海伦公式及两个三角形面积相等,有p(pa)(pb)(pb)p(p2a)(pc)(pc),整理得(pb)pa(pc),联立a2b2a2c,解不妨令2a,6得pc2p4b,,令a6,:..)附加条件:两三角形为直角三角形.,、c为直角边,设内切圆不妨设两三角形边长分别为111、ab,c,其中1222216:..、r1211由周长相等、面积相等可得rCrC,可以推出rr,,又由111