文档介绍：点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.
证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有
,得
又
同理可证,在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.
典题妙解
例1 (04辽宁)设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足,,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最大值和最小值.
解:(1):点P是弦AB的中点.
焦点在y上, 假设直线的斜率存在.
由得:
整理,得:
当直线的斜率不存在时,弦AB的中点P为坐标原点,也满足方程。
所求的轨迹方程为
(2)配方,得:
当时,;当时,
例2 (07年海南、宁夏)在直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.
(1)求的取值范围;
(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解:(1)直线的方程为
由得:
直线与椭圆有两个不同的交点,
>0.
解之得:<或>.
的取值范围是.
(2)在椭圆中,焦点在轴上,,
设弦PQ的中点为,则
由平行四边形法则可知:
与共线,
与共线.
,从而
由得:,
由(1)可知时,直线与椭圆没有两个公共点,
不存在符合题意的常数.
例3(09年四川)已知椭圆(>>0)的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点,且,求直线的方程
.
解:(Ⅰ)根据题意,得
.
所求的椭圆方程为.
(Ⅱ)椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.
由平行四边形法则知:.
由得:.
………………………………………………………………………①
若直线的斜率不存在,则轴,这时点P与重合,,与题设相矛盾,故直线的斜率存在.
由得:
………………………………………………………………………②
②代入①,得
整理,得:.
解之得:,或.
由②可知,不合题意.
,从而.
所求的直线方程为,或.
例4 (09全国Ⅱ)已知椭圆(>>0)的离心率为,过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时,坐标原点O到的距离为.
(1)求的值;
(2)C上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点P的坐标与的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)椭圆的右焦点为,直线的斜率为1时,则其方程为,即. 原点O到的距离:,.
又,. 从而.
, .
(2)椭圆的方程为. 设弦AB的中点为. 由可知,点Q是线段OP的中点,点P的坐标为.
.………………………………………………………………①
若直线的斜率不存在,则轴,这时点Q与重合,,点P不在椭圆上,故直线的斜率存在.
由得:
.…………………………………………………………………②
由①和②解得:.
当时,,点P的坐标为,直线的方程为;
当时,,点P的坐标为,直线的方程为.
金指点睛
1. 已知椭圆