文档介绍：《三角函数》
例1。若角的终边经过点,则。
【思路分析】由任意三角函数定义先求出,然后由二倍角正切公式可得。
解:角的终边经过点,所以,。
练习:已知角的终边经过点,则。
解答:。
例2。已知且,则。
【思路分析】由条件可先求得,然后据同角三角函数公式求得。
解:由得,从而。又,所以,所以。
练习:已知-<x<0,sinx+cosx=.
(1)求sinx-cosx的值;
(2)求的值.
解(1)方法一联立方程:
由①得sinx=-cosx,将其代入②,整理得
25cos2x-5cosx-12=0.
∵-<x<0,
∴,
所以sinx-cosx=-.
方法二∵sinx+cosx=,
∴(sinx+cosx)2=,
即1+2sinxcosx=,
∴2sinxcosx=-.
∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x
=1-2sinxcosx=1+= ①
又∵-<x<0,∴sinx<0,cosx>0,
∴sinx-cosx<0 ②
由①②可知:sinx-cosx=-.
(2)由已知条件及(1)可知
,解得,
∴tanx=-.
又∵
=
=
=.
,,,则的值等于。
【思路分析】本题我们首先应注意到条件角与结论角之间的关系:
,从而可先由条件利用同角三角函数关系求得条件角的余弦,再用两角和的余弦公式求得。
由,则,,又
,,所以,。
。
练习:已知,sin()=- sin则cos=________.
解: ,,
,∴,,
则=
=
。
【思路分析】注意到式中的角和三角函数名称多样性,可考虑从统一角和名称入手,化异为同,达到求解的目的。
解:
=
练习:求的值。
解:
,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值。
【思路分析】第一问直接求解方程,但要注意角的范围。对于第二个问题,我们应设法在恒等变形中构造出出来。
解:(Ⅰ)由得,即,又,所以为所求。
(Ⅱ)=
===。
练习:已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值。
解:(Ⅰ)由,得,所以=。
(Ⅱ)∵,∴。
例6。将函数的图象向左平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是。
【思路分析】将函数的图象向左平移,平移后的图象所对应的解析式为,由图象知,,所以,因此。
解答:。
练习:函数图像的一部分如右图所示它的解析式是。
解答:。
解析:先据图象知:,周期为
,从而,又。
例7。为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点。
【思路分析】利用三角函数图象变换规律:先平移后伸缩。
将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数的图像。
解:将的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)。
【解后反思】本题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时训练的比较多的一种类型。
由函数的图象经过变换得到函数
(1).y=Asinx,xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的
(2)函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)
(3)函数y=sin(x+),x∈R(其中≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当>0时)或向右(当<0时=平行移动||个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意:先伸缩时,平移的单位把x前面的系数提取出来。
练习:已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x-,xR.
函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
解析:
=
先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象。
(I)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(II)求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值。
【思路分析】先对函数表达式利用二倍角公式,诱导公式或两角和与差的正余弦公式进行恒等变形,把它化成仅含一个三角函数,然后对照正弦函数相应的性质处理。
解:(I)
所以
由得
所以函数的最小正周期为
(II)由(I)有
因为
所以
因为
所以当取得最大值2
练习、已知函数为常数).
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的单调递增区间;
若时,的最